P3871 [TJOI2010]中位数

题目描述

给定一个由N个元素组成的整数序列，现在有两种操作：

1 add a

在该序列的最后添加一个整数a，组成长度为N + 1的整数序列

2 mid 输出当前序列的中位数

中位数是指将一个序列按照从小到大排序后处在中间位置的数。（若序列长度为偶数，则指处在中间位置的两个数中较小的那个）

例1：1 2 13 14 15 16 中位数为13

例2：1 3 5 7 10 11 17 中位数为7

例3：1 1 1 2 3 中位数为1

输入输出格式

输入格式：

第一行为初始序列长度N。第二行为N个整数，表示整数序列，数字之间用空格分隔。第三行为操作数M，即要进行M次操作。下面为M行，每行输入格式如题意所述。

输出格式：

对于每个mid操作输出中位数的值

输入输出样例

输入样例#1： 

6
1 2 13 14 15 16
5
add 5
add 3
mid
add 20
mid

输出样例#1： 

5
13

说明

对于30%的数据，1 ≤ N ≤ 10,000，0 ≤ M ≤ 1,000

对于100%的数据，1 ≤ N ≤ 100,000，0 ≤ M ≤ 10,000

序列中整数的绝对值不超过1,000,000,000，序列中的数可能有重复

 

Solution：

本题有很多做法。

1、先说一种简单点的，使用“对顶堆”的在线算法。为了动态维护中位数，我们可以建立两个二叉堆，一个小根堆一个大根堆，在读入序列时，注意：将从小到大排名为1～n/2的整数放在大根堆中，将从小到大排名为n/2+1～n的整数放在小根堆中。

每次新读入一个数x后，若x比大根堆顶小，则放入大根堆，否则放入小根堆。在查询时，若某个大根堆元素个数过多（>n/2），则将多余的元素放入小根堆，那么若此时n为奇数则中位数为小根堆堆顶，否则就是大根堆堆顶，直接输出就OK了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define debug printf("%d%s
",__LINE__,__FUNCTION__)
using namespace std;
const int N=100005;
il int gi()
{
    int a=0;char x=getchar();bool f=0;
    while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar();
    if(x=='-')x=getchar(),f=1;
    while(x>='0'&&x<='9')a=a*10+x-48,x=getchar();
    return f?-a:a;
}
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >qmin;
priority_queue<int>qmax;
int n,x,mid,a[N],m,cn1,cn2;
int main()
{
    n=gi();m=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=gi();
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n/2;i++)qmax.push(a[i]),cn1++;
    for(int i=n/2+1;i<=n;i++)qmin.push(a[i]),cn2++;
    n=gi();char s[10];
    while(n--){
        scanf("%s",s);
        if(s[0]=='a'){
            scanf("%d",&x);
            if(x<qmax.top())qmax.push(x),cn1++;
            else qmin.push(x),cn2++;
            m++;
        }
        else {
            while(cn1<m/2){
                x=qmin.top();qmin.pop();qmax.push(x);cn1++;cn2--;
            }
            while(cn1>m/2){
                x=qmax.top();qmax.pop();qmin.push(x);cn2++;cn1--;
            }
            if(m&1)printf("%d
",qmin.top());
            else printf("%d
",qmax.top());
        }
    }
    return 0;
}

2、“链表+hash”离线做法（留坑）。

3、还有一种无脑的平衡树在线做法（留坑，自我感觉大才小用了）。