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杨氏矩阵详解：ORZ
杨氏矩阵又叫杨氏图表，它是这样一个矩阵，满足条件：
(1)如果格子(i,j)没有元素，则它右边和上边的相邻格子也一定没有元素。
(2)如果格子(i,j)有元素a[i][j]，则它右边和上边的相邻格子要么没有元素，要么有元素且比a[i][j]大。
1 ~ n所组成杨氏矩阵的个数可以通过下面的递推式得到：
如图就是n=3时的杨氏矩阵。
下面介绍一个公式，那就是著名的钩子公式。
对于给定形状，不同的杨氏矩阵的个数为：n！除以每个格子的钩子长度加1的积。其中钩子长度定义为该格子
右边的格子数和它上边的格子数之和。
题目：http://poj.org/problem?id=1825
介绍完了钩子公式，那么我们可以来做一道基础题了。
题目：给四行，第一行放5个数字，第二行放三个数字，第三行放3个数字，第四行放1个数字，都是左对齐的排列，
现有1~12共12个数字，要求放到这四行中，从上到下，从左到右都是按小到大排列，问你共有几种排法？
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这个问题直接利用钩子公式解决即可。
杨氏矩阵既可以用来当堆，又可以当成平衡树。通常杨氏矩阵会涉及到两个问题：
(1)在杨氏矩阵中查找值为x的元素 (2)在杨氏矩阵中找第K大的元素
对于第一个问题，其实有两种方法，第一种方法就是二分查找法，这种方法的时间效率不是很好。第二种方法就是类
堆查找法。方法是这样的：从矩阵的右上角出发，对于元素a[i][j]，如果a[i][j]==x，则找到元素x，直接返
回； 如果a[i][j]> x，则向下移动，即继续比较a[i+1][j]与x；如果a[i][j] < x，则向左移动，即继续比
较a[i][j-1]与x。该算法的时间复杂度是O(m+n)。
1 bool Find(int a[][N],int n,int m,int x)
2 {
3 assert(a != NULL && n > 0 && m > 0);
4 int row = 0;
5 int col = m - 1;
6 while(row <= n - 1 && col >= 0)
7 {
8 if(a[row][col] == x) return true;
9 else if(a[row][col] > x) col--;
10 else row++;
11 }
12 return false;
13 }
对于第二个问题，首先，二分枚举找到一个数x，它比杨氏矩阵中k个数大；然后，利用类堆查找法找到刚好小于x的
元素。该算法的时间复杂度为O((m+n)log(mn))，但不需要额外存储空间。
1 int get_order(int a[][N],int n,int m,int k)
2 {
3 int row = 0;
4 int col = m - 1;
5 int order = 0;
6 while(row <= n - 1 && col >= 0)
7 {
8 if(a[row][col] < k)
9 {
10 order += col + 1;
11 row++;
12 }
13 else col--;
14 }
15 return order;
16 }
17
18 int Find_Kth_Num(int a[][N],int n,int m,int k)
19 {
20 int low = a[0][0];
21 int high = a[n-1][m-1];
22 int order = 0;
23 int mid = 0;
24 do
25 {
26 mid = (low + high) >> 1;
27 order = get_order(a,n,m,mid);
28 if(order == k) break;
29 else if(order > k) high = mid - 1;
30 else low = mid + 1;
31 }while(1);
32 int row = 0;
33 int col = m - 1;
34 int ret = mid;
35 while(row <= n - 1 && col >= 0)
36 {
37 if(a[row][col] < mid)
38 {
39 ret = max(ret,a[row][col]);
40 row++;
41 }
42 else col--;
43 }
44 return ret;
45 }
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首先，我们来看一个最简单的问题：
我在学校门口卖奶茶，奶茶一元一杯。今天下午开门的时候，我发现找零的钱忘带了。
这时候来了 2n 个人，其中 n 个人身上只有一张一元钱，另外 n 个人身上只有一张两元钱。我就让他们排成一队，然后用这 n 个人的一元钱来找给付两元的人。当然，排队的时候得保证每次来一个付两元的人的时候都有的找。
假设所有拿一元的人和拿两元的人都没有分别，我现在想知道，他们有多少种排队方式？
这个问题的答案大家都知道，是 Cat[n]，即第 n 个卡特兰数（Catalan number）。不过我现在的问题是如下的升级问题。
升级1：条件同上，但这时候来的人数为 3n ，其中 n 个人只有一张一元钱，n 个只有一张两元钱， n 个只有一张三元钱（假设题设的每种面值的钞票均存在）。我仍然让他们排成一队，只要有付两元的就用一元找，付三元的就用两元找。同样得保证每当需要找钱时有对应的钱可以找。求他们有多少种排队方式？
以及最终问题
升级2：条件同上，但这时候来的人数为 mn，其中拥有面值为一元至 m 元的人均有 n 个。每当支付 k （
）元时用 k-1 面值的钞票去找零。求合法排队方式数。
先看例题：【HihoCoder1480：矩阵填数 】
题意：将N*M个整数填入N*M的矩阵中，要求当前位置的数小于左边和上面的数，求方案数。
有【钩子公式】：
对于给定形状，不同的杨氏矩阵的个数为：n！除以每个格子的钩子长度加1的积。 其中钩子长度定义为该格子 右边的 格子数和 它上边的格子数之和。
则易得此题公式：
ans=fac[n*m];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
ans=ans*rev[i+j-1]%Mod;
}
【关键】：这个矩阵填数和卖奶茶的关系：
加入3*N个人买奶茶： N个一块钱的+N个两块钱+N个三块钱，给他们的排队队伍编号1，2，3 ... 3*N。然后把这3*N个人拿去填充矩阵。
具体的，一块钱的在第一排，两块钱的在第二排，三块钱的在第三排。 那么他们必须满足：先来的在左边，小面额的在上边。
即当前位置是数小于上面的和左边的。这样以来这个解就可以用钩子定理来求解了。