manacher算法详解+模板 P3805

前言：

记住manacher是一个很简单的算法。

首先我们来了解一下回文字串的定义：若一个字符串中的某一子串满足回文的性质，则称其是回文子串。（注意子串必须是连续的，而子序列是可以不连续的）

那么若给定一长度为n的字符串，要求出最长回文子串的长度，怎么做呢？

首先想到的是暴力搜索，我就不赘述思路了。那如果n特别大呢？10的7次方怎么做？

于是，我们需要了解一个贼有意思的鸡肋算法manacher，俗称“马拉车”，为什么说是贼有意思呢？因为它的思路实在是巧妙，又为什么说是鸡肋呢？因为它貌似只适用于求解最大回文子串的问题。

 

思路：

　　首先我们知道回文子串的判定和长度的奇偶性是有关系的，由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，在字符间插入一个字符（前提这个字符未出现在串里），常用的是"$""#"。举个例子：s="abbahopxpo"，转换为newS="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（这里在串首、尾加的字符"$"和"";只是设置边界，为了防止越界，而且显然不影响回文子串，下面会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为"#a#b#b#a#"和"#o#p#x#p#o#"，长度都转换成了奇数。

　　证明经过上述操作回文串的长度必为奇数：

　　　　若原回文串的长度为奇数n（原串 aaa），首尾间共有偶数n-1个空位被加上"#"，加上首前和尾后各1个"#"（新串 #a#a#a#），可见新的长度为2n+1，显然是奇数;

　　　　若原回文串的长度为偶数n（原串 aa），首尾间共有奇数n-1个空位被加上"#"，加上首前和尾后各1个"#"（新串 #a#a#），可见新的长度也为2n+1，显然是奇数。得证。

　　我们定义一个辅助数组int p[]，p[i]表示以news[i]为中心的最长回文的半径，例如

　　易得P[i]-1即以i为中心的在原串中的回文子串的长度：例如P[5]=5，则4就是以5这个位置为中心在原串中的最长回文子串的长度（abba），为什么这是对的呢？因为我们知道P[i]*2-1为新串中以i为中心的最长回文子串的长度，设该回文子串原长为n，则由上面的证明可知新串的长度=2n+1=P[i]*2-1，移项化简得n=P[i]-1。

　　于是重点来了：我们如何快速的求出P[]数组。这时就要用到DP的思想了，我们一般会想到这样求解p[i]，先初始化p[i]=1，再以news[i]为中心判断两边是否相等，相等就p[i]++。这就是普通的思维，但是我们想想，能否避免重复操作让p[i]的初始化不是 1，让它更大点，看下图：

　　设置两个变量，mx 和 id 。
  mx 代表以news[id]为中心的最长回文最右边界，也就是mx=id+p[id]。

　 假设我们现在求p[i]，也就是以news[i]为中心的最长回文半径，如果i<mx，如上图，那么

　　if(i<mx) p[i] = min(p[id*2-i] , mx-i);      

　　else p[i] = 1;

　怎么理解呢？我们看图，因为mx是以id为中心的最长回文半径，若当前的i比mx要小，说明以i为中心的最长回文子串的一部分已经出现在以id为中心的回文子串中了，注意图中下面标注的两条短黑线，因为我们是线性dp，j点一定被访问过且P[j]被处理过，而j与i关于id对称（i+j=2*id），所以j=id*2-i，由于回文串的对称性，以i为中心的最长回文子串中的半径最小值一定是p[j]和mx-i中的最小值; 而若i>mx，就只能将p[i]赋为1来更新了。（感觉解释了和没解释一样啊，由于博主表述能力较差，我们不如举例）

　　就比如一个回文子串："#a#a#a#a#a#"，我们以中间的a位置为id，所以id=6，mx=12。假设目前访问到了i=8的位置，则与其对称的j=2*6-8=4，而p[4]在访问8之前已经处理，p[4]=4，mx-i=4，所以取最小值4，将p[8]初始值赋为4。因为很容易看出在当前已经可以确定的是以8为中心的最长回文串的半径至少为4（#a#a#a#），当然有可能更大，我们之后判断news[i+P[i]]==news[i-P[i]]是否成立，若成立就p[i]++。

　　讲的好心累啊，我学manacher时完全自学，也没有什么解释，完全是靠自己看懂的，还是得自己结合图和代码理解啊,先发一波核心代码。

int manacher()
{
    int len=init();
    int ans=-N,id,mx=0;
    for(int i=1;i<len;i++)
    {
        if(i<mx)p[i]=min(p[id*2-i],mx-i);
        else p[i]=1;
        while(news[i-p[i]]==news[i+p[i]])p[i]++;
        if(mx<i+p[i])id=i,mx=i+p[i];
        ans=max(ans,p[i]-1);
    }
    return ans;
}

　　再发两种情况的图片自行理解一番：

　　这是初值p[i]=p[id*2-i]的图：

　　 这是初值p[i]=mx-i的图，注意虚线部分：

 

 

巨说极其重要的性质：

再来看这张图，我们发现，如果mx不更新，就不会出现本质不同的回文子串，因为前面已经出现过了；而每扩展一次mx，最多新出现一个本质不同的回文子串。
于是得到性质：一个字符串最多只有n个本质不同的回文子串。这个性质很重要，有些题会用到，需要这个性质去分析。

（虽然我也不知道有啥用……）

 

算法复杂度分析：知乎

我自己简略地讲一下，因为i与mx只有两种情况，而每次检索已经保证了单调递增，可以知道每个点最多被访问两次，while()循环本身的时间复杂度在没有前提条件的情况下确实是但是这里的（也就是上面答案中的），是不断往后走而不可能往前退的，它自身的值的变化是递增的。那么你可以明白，要进入while循环，的值必然是比大的，也就是说整个程序结束为止，while循环执行的操作数为次（线性次），而字符串中的每个字符，最多能被访问到2次。时间复杂度必然为

 

终于讲完了，上模板题洛谷P3805

题目描述

给出一个只由小写英文字符a,b,c...y,z组成的字符串S,求S中最长回文串的长度.

字符串长度为n

输入输出格式

输入格式：

一行小写英文字符a,b,c...y,z组成的字符串S

输出格式：

一个整数表示答案

输入输出样例

输入样例#1： 

aaa

输出样例#1： 

3

说明

字符串长度len <= 11000000

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define debug printf("%d %s
",__LINE__,__FUNCTION__)
using namespace std;
const int N=23000005;
char s[N],news[N];
int p[N];
il int init()
{
    int len=strlen(s);
    news[0]='$',news[1]='#';
    int j=2;
    for(int i=0;i<len;i++)news[j++]=s[i],news[j++]='#';
    news[j]='';
    return j;
}
il int manacher()
{
    int len=init();
    int ans=-N,id,mx=0;
    for(int i=1;i<len;i++)
    {
        if(i<mx)p[i]=min(p[id*2-i],mx-i);
        else p[i]=1;
        while(news[i-p[i]]==news[i+p[i]])p[i]++;
        if(mx<i+p[i])id=i,mx=i+p[i];
        ans=max(ans,p[i]-1);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%s",s);
    printf("%d",manacher());
    return 0;
}