P1291 [SHOI2002]百事世界杯之旅

题目描述

“……在2002年6月之前购买的百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。只要凑齐所有百事球星的名字，就可参加百事世界杯之旅的抽奖活动，获得球星背包，随声听，更克赴日韩观看世界杯。还不赶快行动！”

你关上电视，心想：假设有n个不同的球星名字，每个名字出现的概率相同，平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢？

输入输出格式

输入格式：

整数n（2≤n≤33），表示不同球星名字的个数。

输出格式：

输出凑齐所有的名字平均需要买的饮料瓶数。如果是一个整数，则直接输出，否则应该直接按照分数格式输出，例如五又二十分之三应该输出为（复制到记事本）： $5\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{20}$ 第一行是分数部分的分子，第二行首先是整数部分，然后是由减号组成的分数线，第三行是分母。减号的个数应等于分母的为数。分子和分母的首位都与第一个减号对齐。

分数必须是不可约的。

输入输出样例

输入样例#1： 

2

输出样例#1： 

3

Solution：

　　本题实际上求得就是收集到$n$个不同瓶子的期望买的瓶子个数。

　　假设有$n$个瓶子，那么第一次买$1$个，一定能买到一个没有收集过的类型; 而第二次再买$1$个，有$frac{n-1}{n}$的概率买到与第一次不同类型的，所以要买到一个与第一次不同类型的瓶子期望次数为$frac{n}{n-1}$; 第三次买到与之前不同类型的瓶子期望次数就是$frac{n}{n-2}$……以此类推，可知买到$n$个不同类型的瓶子的期望买的次数为$sumlimits_{i=1}^{ileq n}{frac{n}{i}}$，那么最后只要模拟一下通分的过程就好了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
ll n;
ll top,bot=1,p,q,x,y;

il ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}

il ll num(ll x){ll tot=0;while(x)tot++,x/=10;return tot;}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>n;top=n;
    For(i,2,n) x=i,y=n,p=gcd(x,y),x/=p,y/=p,top=top*x+bot*y,bot*=x,p=gcd(top,bot),top/=p,bot/=p;
    if(top%bot==0)printf("%lld",top/=bot);
    else{
        p=num(bot),q=num(top/bot);
        For(i,1,q)printf(" ");
        printf("%lld
%lld",top%bot,top/bot);
        while(p--)printf("-");printf("
");
        For(i,1,q)printf(" ");printf("%lld",bot);
    }
    return 0;
}