P2473 [SCOI2008]奖励关

题目描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入输出格式

输入格式：

第一行为两个正整数k 和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种

宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各

宝物编号为1到n），以0结尾。

输出格式：

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

输入输出样例

输入样例#1： 

1 2
1 0
2 0

输出样例#1： 

1.500000

输入样例#2： 

6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0

输出样例#2： 

10.023470

说明

1 <= k <= 100, 1 <= n <= 15，分值为[-10⁶,10⁶]内的整数。

Solution：

　　本题较简单的状压dp+数学期望。

　　由于宝物种类很少，容易想到状压dp，定义状态$f[i][j]$表示到了第$i$轮宝物状态为$j$的期望分数。

　　考虑递推顺序，若正推，则有用没有出现的状态向出现的状态转移的情况。

　　于是考虑倒推，用出现的状态向需要的状态转移，则目标状态$f[1][0]$，转移方程：$f[i][j]=frac{sum{f[i+1][k]}}{n}，j ightarrow k$，注意对于可以选择物品的情况，累加的是$max(f[i+1][j],f[i+1][k])$。

代码：

/*Code by 520 -- 9.19*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
int n,k,w[16],opt[16];
double f[105][1<<16],ans;

int main(){
    scanf("%d%d",&k,&n);
    int x;
    For(i,1,n) {
        scanf("%d",&w[i]);
        while(scanf("%d",&x)==1&&x) opt[i]+=(1<<x-1);
    }
    int lim=(1<<n)-1;
    Bor(i,1,k) For(j,0,lim) {
        For(p,1,n)
            if((j&opt[p])==opt[p]) f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<p-1)]+w[p]);
            else f[i][j]+=f[i+1][j];
        f[i][j]/=n;
    }
    printf("%.6lf",f[1][0]);
    return 0;
}