堆(heap)又被为优先队列(priority queue)。尽管名为优先队列，但堆并不是队列。
因为队列中允许的操作是先进先出（FIFO），在队尾插入元素，在队头取出元素。
而堆虽然在堆底插入元素，在堆顶取出元素，但是堆中元素的排列不是按照到来的先后顺序，而是按照一定的优先顺序排列的。
本文通过堆的实现、最小堆（最大堆）、堆的时间复杂度、优先队列的实现、堆排序来介绍「 堆 」。
堆的实现
堆的一个经典的实现是完全二叉树(complete binary tree)，这样实现的堆称为二叉堆(binary heap)。
这里来说明一下满二叉树的概念与完全二叉树的概念。
满二叉树：除了叶子节点，所有的节点的左右孩子都不为空，就是一棵满二叉树，如下图。
可以看出：满二叉树所有的节点都拥有左孩子，又拥有右孩子。
完全二叉树：不一定是一个满二叉树，但它不满的那部分一定在右下侧，如下图
堆的特性：
- 必须是完全二叉树
- 任一结点的值是其子树所有结点的最大值或最小值
- 最大值时，称为“最大堆”，也称大顶堆；
- 最小值时，称为“最小堆”，也称小顶堆。
堆的基础实现
只要谨记堆的定义特性，实现起来其实是很容易的。
- 特性1. 维持完全二叉树
- 特性2. 子类数字总是大于父类数字
1public class MinHeap <E extends Comparable<E>> {
2 private Array<E> data;
3
4 public MinHeap(int capacity){
5 data = new Array<>(capacity);
6 }
7
8 public MinHeap(){
9 data = new Array<>();
10 }
11
12 // 返回堆中的元素个数
13 public int size(){
14 return data.getSize();
15 }
16
17 // 返回一个布尔值, 表示堆中是否为空
18 public boolean isEmpty(){
19 return data.isEmpty();
20 }
21
22 // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的父亲节点的索引
23 private int parent(int index){
24 return (index - 1) / 2;
25 }
26
27 // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
28 private int leftChild(int index){
29 return index * 2 + 1;
30 }
31
32 // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
33 private int rightChild(int index){
34 return index * 2 + 2;
35 }
36}
最小堆的插入（ADD）
假设现有元素 5 需要插入，为了维持完全二叉树的特性，新插入的元素一定是放在结点 6 的右子树；同时为了满足任一结点的值要小于左右子树的值这一特性，新插入的元素要和其父结点作比较，如果比父结点小，就要把父结点拉下来顶替当前结点的位置，自己则依次不断向上寻找，找到比自己大的父结点就拉下来，直到没有符合条件的值为止。
动画讲解：
在这里先将元素 5 插入到末尾，即放在结点 6 的右子树。
然后与父类比较， 6 > 5 ，父类数字大于子类数字，子类与父类交换。
重复此操作，直到不发生替换。
Show me the code：
添加一个辅助函数，用来交换传入的索引两个位置的元素值
1/**
2 * 交换传入的索引两个位置的元素值
3 *
4 * @param i
5 * @param j
6 */
7 public void swap(int i, int j) {
8 if (i < 0 || i >= size || j < 0 || j >= size)
9 throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
10
11 E temp = data[i];
12 data[i] = data[j];
13 data[j] = temp;
14 }
数组中添加交换两元素位置的方法，注意下面代码中注释的描述特性位置。
1 /**
2 * 堆中添加元素方法。
3 *
4 * @param e
5 */
6 public void add(E e) {
7 //特性1：新插入的元素首先放在数组最后，保持完全二叉树的特性
8 data.addLast(e);
9 siftUp(data.getSize() - 1);
10 }
11
12 /**
13 * index 为i位置元素上浮。
14 *
15 * @param i
16 */
17 private void siftUp(int i) {
18 //特性2：比较插入值和其父结点的大小关系，小于父结点则用父结点替换当前值，index位置上升为父结点
19 // 当上浮元素大于父亲，继续上浮。并且不能上浮到0之上
20 // 直到i 等于 0 或 比 父亲节点小了。
21 while (i > 0 && data.get(i).compareTo(data.get(parent(i))) > 0) {
22 // 数组Array中添加方法swap
23 data.swap(i, parent(i));
24 i = parent(i); // 这句话让i来到新的位置，使得循环可以查看新的位置是否还要大。
25 }
26 }
最小堆的删除（DELETE）
核心点：将最后一个元素填充到堆顶，然后不断的下沉这个元素。
假设要从节点 1 ，也可以称为取出节点 1 ，为了维持完全二叉树的特性 ，我们将最后一个元素 6 去替代这个 1 ；然后比较 1 和其子树的大小关系，如果比左右子树大（如果存在的话），就要从左右子树中找一个较小的值替换它，而它能自己就要跑到对应子树的位置，再次循环这种操作，直到没有子树比它小。
通过这样的操作，堆依然是堆，总结一下：
- 找到要删除的节点（取出的节点）在数组中的位置
- 用数组中最后一个元素替代这个位置的元素
- 当前位置和其左右子树比较，保证符合最小堆的节点间规则
- 删除最后一个元素
Show me the code：
1 public E findMin() {
2 return data.get(0);
3 }
4
5 public E extractMin() {
6
7 E ret = findMin();
8
9 data.swap(0, data.getSize() - 1); // 0位置元素和最后一个元素互换。
10 data.removeLast(); // 删除此时的最后一个元素(最小值)
11 siftDown(0); // 对于0处进行siftDown操作
12
13 return ret;
14 }
15
16 /**
17 * k位置元素下移
18 *
19 * @param k
20 */
21 private void siftDown(int k) {
22
23 while(leftChild(k) < data.getSize()){
24 int j = leftChild(k); // 在此轮循环中,data[k]和data[j]交换位置
25 if( j + 1 < data.getSize() &&
26 data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) < 0 )
27 j ++;
28 // data[j] 是 leftChild 和 rightChild 中的最小值
29
30 if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0 )
31 break;
32
33 data.swap(k, j);
34 k = j;
35 }
36 }
时间复杂度
对于有 n 个节点的堆来说，其高度 d = log2n + 1。 根为第 0 层，则第 i 层结点个数为 2i，
考虑一个元素在堆中向下移动的距离。
- 大约一半的结点深度为 d-1 ，不移动(叶)。
- 四分之一的结点深度为 d-2 ，而它们至多能向下移动一层。
- 树中每向上一层，结点的数目为前一层的一半，而子树高度加一
堆有logn层深，所以插入删除的平均时间和最差时间都是O(logN)
优先队列（priority_queue）
普通队列是一种先进先出的数据结构，先放进队列的元素取值时优先被取出来。而优先队列是一种具有最高优先级元素先出的数据结构，比如每次取值都取最大的元素。
优先队列支持下面的操作：
- a. 找出优先级最高的元素(最大或最小元素)；
- b. 删除一个具有最高优先级的元素；
- c. 添加一个元素到集合中。
代码实现
1public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {
2
3 private MaxHeap<E> maxHeap;
4
5 public PriorityQueue(){
6 maxHeap = new MaxHeap<>();
7 }
8
9 @Override
10 public int getSize(){
11 return maxHeap.size();
12 }
13
14 @Override
15 public boolean isEmpty(){
16 return maxHeap.isEmpty();
17 }
18
19 @Override
20 public E getFront(){
21 return maxHeap.findMax();
22 }
23
24 @Override
25 public void enqueue(E e){
26 maxHeap.add(e);
27 }
28
29 @Override
30 public E dequeue(){
31 return maxHeap.extractMax();
32 }
33}
堆排序
理解了优先队列，堆排序的逻辑十分简单。
第一步：让数组形成堆有序状态；
第二步：把堆顶的元素放到数组最末尾，末尾的放到堆顶，在剩下的元素中下沉到正确位置，重复操作即可。
堆排序动画