2018.10.30 NOIp模拟赛T2 数字对

【题目描述】

        小 H 是个善于思考的学生，现在她又在思考一个有关序列的问题。
        她的面前浮现出一个长度为 n 的序列{ai}，她想找出一段区间[L, R](1 <= L <= R <= n)。
        这个特殊区间满足，存在一个 k(L <= k <= R)，并且对于任意的 i(L <= i <= R)，ai 都能被 ak 整除。这样的一个特殊区间 [L, R]价值为 R - L。
        小 H 想知道序列中所有特殊区间的最大价值是多少，而有多少个这样的区间呢？这些区间又分别是哪些呢？你能帮助她吧。

【输入格式】

        第一行，一个整数 n.

        第二行，n 个整数，代表 ai.

【输出格式】

        第一行两个整数，num 和 val,表示价值最大的特殊区间的个数以及最大价值。
        第二行 num 个整数，按升序输出每个价值最大的特殊区间的 L.

【样例输入输出】

【样例输入1】

5
4 6 9 3 6

【样例输出1】

1 3
2

【样例输入2】

5
2 3 5 7 11

【样例输出2】

5 0
1 2 3 4 5

【数据范围】

30%: 1 <= n <= 30 , 1 <= ai <= 32.
60%: 1 <= n <= 3000 , 1 <= ai <= 1024.
80%: 1 <= n <= 300000 , 1 <= ai <= 1048576.
100%: 1 <= n <= 500000 , 1 <= ai < 2 ^ 31.

---

思路

可以想到所有特殊区间必定满足区间最小值等于区间GCD。于是可以使用ST表来维护这两个东西，最后二分求解。

目测0(nlogn)的复杂度，我觉得海星。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

#define MAXN 500005

int n;
int a[MAXN], ans[MAXN], _ans, g[MAXN][25];
int minn[MAXN][25];

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

bool query(int l, int r) {
    int s = log2(r - l + 1);
    return min(minn[l][s], minn[r - (1 << s) + 1][s]) == gcd(g[l][s], g[r - (1 << s) + 1][s]);
}

bool judge(int lim) {
    int tmp = _ans;
    _ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n - lim; ++i)
        if(query(i, i + lim))
            ans[++_ans] = i;
    if(_ans == 0)
        return _ans = tmp, false;
    return true;
}

int main() {
    freopen("pair.in", "r", stdin);
    freopen("pair.out", "w", stdout);
    
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        minn[i][0] = g[i][0] = a[i];
    }
    
    for(int j = 1; j <= 20; ++j)
        for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
            minn[i][j] = min(minn[i][j - 1], minn[i + (1 << (j - 1))][j - 1]),
            g[i][j] = gcd(g[i][j - 1], g[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        
    int l = 0, r = n, maxL;
    while(l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(judge(mid))
            l = mid + 1, maxL = mid;
        else
            r = mid - 1;
    }
    
    printf("%d %d
", _ans, maxL);
    for(int i = 1; i <= _ans; ++i)
        printf("%d ", ans[i]);
    printf("
");
    
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    
    return 0;
}