[概率] 概率论笔记

概率论学习

一些概念与约定符号

• 随机试验:E
• 样本点:E的一个可能结果
• 样本空间:S(由E的所有样本点组成)
• 事件:大写字母(S的子集)
• 不可能事件:(emptyset)(S的空集)
• A的频数:(n_A)
• A的概率:(P(A)=n_A/n_S)

事件关系

1. 包含:若A发生B一定发生,则称B包含A,记为(Asubset B)
2. 相等:若(Asubset B)且(Bsubset A),则A等于B,记为A=B
3. 和事件:(Aigcup B)称为A与B的和事件,当且仅当A或B发生时,A(igcup)B发生.n个(A_i)的并(igcup^{n}_{i=1}A_i)
4. 积事件:(Aigcap B(AB))称为A与B的积事件,当且仅当A,B同时发生时,A(igcap)B发生.n个(A_i)的积(igcap^{n}_{i=1} A_i)
5. 差事件:(A-B),当且仅当(A)发生,(B)不发生时(A-B)发生
6. 互斥:若(AB=emptyset),则A,B互斥
7. 对立:若(AB)互斥且(Aigcup B=S),则A,(对立对立对立B对立,)B=!A$

运算法则

1. 交换率:咕

2. 结合率:咕

3. 分配率:(易错)

   [Aigcup (BC)=(Aigcup B)(Aigcup C)\ A(Bigcup C)=(AB)igcup (AC) ]

4. 摩根定律:

   [!(Aigcup B)=!A!B\ !(AB)=!Aigcup!B ]

概率性质:

1. 非负性

2. 规范性

3. 可列可加性

4. 推论

   • (P(emptyset)=0)

   • (P(!A)=1-P(A))

   • 若(A_1,A_2,A_3......A_n)两两互斥,则(P(igcup^{n}_{i=1}A_i)=sum^n_{i=1}P(A_i))

   • 若(Bsubset A),则(P(A-B)=P(A)-P(B))

   • (P(Aigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB))

   • 推广:设(C=Aigcup B),则

     [P(Cigcup D)=P(C)+P(D)-P(DC) ]

     由

     [P((Aigcup B)D)=P((AD)igcup (BD)) ]

     有

     [P(DC)=P(AD)+P(BD)-P(ABD) ]

     代入可得

     [P(Aigcup Bigcup D)=P(A)+P(B)+P(D)-P(AB)-P(BD)-P(AD)+P(ABD) ]

     进一步可得

     [P(igcup_{i=1}^{n}A_i)=(-1)^0sum^n_{i=1}P(A_i)+(-1)^1sum_{1leq i<j leq n}P(A_iA_j)......+(-1)^{n-1}P(igcap_{i=1}^nA_i) ]

古典概型

1. 特点:1.(S)的元素个数有公式限 2.每个样本点(互斥)发生的可能性相同

2. 设(A)包含k个样本点,(S)包含n个,则(P(A)=k/n)

3. 经典问题

   • 生日悖论:随机取n个人,生日两两不同的概率为((prod_{i=0}^{n-1}(365-i))/365^n)

   • 超几何分布公式:有n个物品,其中有p个次品,现从n个物品中随机取出m个物品,则取出的物品中有k个次品的概率为

     [inom{k}{p}*inom{n-p}{m-k}/inom{n}{m} ]

   • 抽签的公平性证明

条件概率

B在A发生的前提下发生,记为

[P(B|A)=n_{AB}/n_A=(n_{AB}/n_S)/(n_A/n_S)=P(AB)/P(A) ]

乘法定理

AB发生的概率有公式

[P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) ]

推广:设(D=AB,P(AD)=P(D)P(C|D)=P(B)P(A|B)P(C|AB))
更进一步有

[P(igcap_{i=1}^nA_i)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)......P(A_n|igcap_{i=1}^{n-1}A_i) ]

独立性

1. 定义:当(P(AB)=P(A)P(B))时,称A与B相互独立(注:独立与互斥没有关系)
2. 若(独立且独立且独立且A,B独立且P(B)>0)独立,则有(P(A|B)=P(A))
3. 若(独立则和也独立独立则和也独立独立则和也独立A,B独立,则A,!B和!A,!B也独立).易证不证
4. 当A,B,C两两独立且有(P(ABC)=P(A)P(B)P(C))时,称A,B,C相互独立

随机变量

1. (forall ein S)我们设定一个实数x与之对应,记为(X(e)),再规定变量X,使$Plbrace X=X(e) brace =Plbrace e brace (,则称X为随机变量()r.v$)
2. $P(B)=Plbrace X(e)|ein B brace $

离散型随机变量与分布率类型

设X的所有可能取值为(x_k,p_k)为(X=x_k)的概率,设(Plbrace X=x_k brace =p_k,k=1,2,3...),称此为X的分布率.易知

[pige 0,sum^n_{i=1} pi=1 ]

1. 二项分布
   若E只有A与!A两种结果,(P(A)=p),则称E为伯努利试验,重复进行n次E,E与E之间没有影响,记发生k次的A的概率为(p_k),X为k的随机变量.易知

   [p_k=inom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k} ]

   那么称

   [Plbrace X=k brace =inom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,...n ]

   为伯努利分布((p_k)也为((p+1-p)^k)含(p^k)的那一项).
   对于进行n次试验,(P(A)=p)的伯努利分布,我们称X为服从参数为n,p的二项分布,记为(X)~(b(n,p)).
   特别的,(X)~(b(1,p))也叫做((0-1))分布

2. 泊松分布
   若

   [Plbrace X=k brace =frac{lambda ^ke^{-k}}{k!},k=0,1,2... ]

   则称X为服从参数为(lambda)的泊松分布,记为(X)~(pi(lambda))
   那泊松分布是否满足分布率的性质?首先显然有(p_kge 0)
   其次

   [sum^infty _{k=0} frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!}=e^{-lambda} sum^infty_{k=0}frac{lambda^k}{k!} ]

   根据麦克劳林公式:

   [sum^infty_k=frac{lambda^k}{k!}=e^lambda ]

   可得

   [sum^infty _{k=0} frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!}=1 ]

   当(X)~(b(n,p))的n很大时,非常不好求,但根据如下式子((lambda=np)):

   [lim_{n o infty}inom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!} ]

   我们可以泊松分布来逼近二项式分布,证明暂时咕掉
   hhhhhh