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  • 欧拉函数

    定义

    欧拉函数ϕ(n)是不超过n且和n互质的正整数的个数。

    下面直观地看看欧拉函数:

    n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
    φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8

    定理

    • 定理0 算术函数f如果满足对于任意两个互质的正整数m和n,均有f(mn)=f(m)f(n),就称f为积性函数(或乘性函数)。

    如果对于任意两个正整数m和n,均有f(mn)=f(m)f(n),就称为完全积性函数。

    • 定理1 对于素数p,ϕ(p)=p−1。
    • 定理2 ϕ(pn)=pn−pn−1,因为素数幂pn不互质的只有p的倍数,一共有pn/p=pn−1个。
    • 定理3 若m、n互质,ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n),所以欧拉函数是积性函数。

    因为mn互质,和m互质的数乘上和n互质的数就会和mn互质。

    • 定理4 设n=p1a1p2a2...pkak为正整数n的素数幂分解,那么ϕ(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)。

    由定理2,ϕ(pn)=pn−pn−1=pn (1-1/p),又由定理3,ϕ(n)=p1a1p2a2...pkak(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)

      所以可以方便地求欧拉函数:边找质因子边算,res=n,找到一个质因子p,res=res/p*(p-1)。

    int euler(int x){
        int res = x;
        for(int i=2; i*i<=x; i++)
            if(x % i == 0){
                 res = res / i * (i - 1);
                 while(x % i == 0) x /= i;
             }
        if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
        return res;
    }

    也可以方便地求出所有数的欧拉函数。过程就是先让每个phi[i]=i,再对每个质数p,j为它的倍数,phi[j]=phi[j]/p*(p-1)。

    for(int i=1; i<=maxn; ++i) phi[i] = i;
    for(int i=2; i<=maxn; i+=2) phi[i] /= 2;
    for(int i=3; i<=maxn; i+=2)
        if(phi[i] == i){
            for(int j=i; j<=maxn; j+=i)
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
        }
    • 定理5 设n是一个大于2的正整数,那么ϕ(n)是偶数。


    对于素数p,ϕ(p)=p−1,大于2的素数是奇数,那么它的欧拉函数就是偶数。

    对于合数n,

      由定理2,ϕ(pk)=pk−pk−1

      p=2时,ϕ(2k)=2k−2k−1=2k−1是偶数,

      对于大于2的素数p,ϕ(pk)=pk−pk−1,p为奇数,p的次方也为奇数,两个奇数相减为偶数。

      所以ϕ(pk)为偶数。

      又由定理3,ϕ(n)=ϕ(p1a1)ϕ(p2a2)...ϕ(pkak),所以ϕ(n)一定是偶数。

    • 定理6d|nϕ(d)=n。

    d|nϕ(d)表示所有n的约数的欧拉函数值求和,Cd是gcd(n,x)==d的x(1≤x≤n)的集合,d不同的Cd集合不相交。

      若m∈Cd,则gcd(n,m)=d,所以gcd(n/d,m/d)=1,由于1≤m≤n,所以1≤m/d≤n/d,所以m/d可以取小于n/d且与n/d互质的所有数,m和m/d个数相同,所以m的个数就是ϕ(n/d),也就是|Cd|=ϕ(n/d)。1到n每个数和n的最大公约数一定是n的约数,那么所有集合Cd的所有元素个数之和就是n,也就是∑d|n|Cd|=n。所以∑d|nϕ(d)=n。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/flipped/p/5324598.html
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