【Gym 100947E】Qwerty78 Trip（组合数取模/费马小定理）

从（1,1）到（n,m），每次向右或向下走一步，,不能经过（x,y），求走的方案数取模。
可以经过（x,y）则相当于m+n步里面选n步必须向下走，方案数为

C((m−1)+(n−1)，n−1)

再考虑其中经过（x,y）的方案数，也就是（1,1）到（x,y）的方案乘上（x,y）到（n,m）的方案，为

C((x−1)+(y−1),x−1)×C((n−x)+(m−y),n−x)

于是答案就是下式取模

C(m+n−2，n−1)−C(x+y−2,x−1)×C(n−x+m−y,n−x)

m和n大到10的五次方，而组合数要用除法，所以要用费马小定理来求逆元。简单的说就是

C(n,m)%M=n!%M×(m!)−1%M×[(n−m)!]−1%M

而逆元用费马小定理和快速幂来算

(m!)⁻¹=qpow(m!,M−2)

最后减法取模记得要再加M再取一次模。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200005
#define M 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,t,x,y,fac[N]= {1};
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    ll k=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*k%M;
        k=k*k%M;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{
    if(m>n)return 0;
    return fac[n]*qpow(fac[m],M-2)%M*qpow(fac[n-m],M-2)%M;
}
int main()
{
    for(int i=1; i<N; i++)fac[i]=fac[i-1]*i%M;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);
        printf("%lld
",((C(n+m-2,n-1)-C(x+y-2,x-1)*C(n-x+m-y,n-x)%M+M)%M));
    }
    return 0;
}