题目描述
给定一个无序的整数数组,找到其中最长上升子序列的长度。
示例:
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101],它的长度是 4。
题目链接: https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/
思路1
使用动态规划。假设给定的数组为nums,令dp[i]表示以nums[i]为结尾的最长上升子序列的长度,则dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1),j在[0, i-1]范围内,且nums[j]<nums[i]。代码如下:
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if(nums.empty()) return 0;
vector<int> dp(nums.size(), 0);
//dp[0] = 1;
for(int i=0; i<nums.size(); i++){
dp[i] = 1;
for(int j=0; j<i; j++){
if(nums[j]<nums[i]){
dp[i] = max(dp[j]+1, dp[i]);
}
}
}
return *max_element(dp.begin(), dp.end());
}
};
- 时间复杂度:O(n^2)
- 空间复杂度:O(n)
思路2
使用贪心和二分查找。
如果我们想要上升子序列尽可能的长,则我们需要让子序列上升的越慢,因此我们想让每次加入到子序列最末尾的那个数尽可能的小。所以,我们设置一个数组d[],d[i]表示长度为i的上升子序列末尾元素的最小值。执行以下算法:
- 将子序列初始长度len设为1,将nums[0]赋值给d[len];
- 从1开始遍历nums
- 如果nums[i]>d[len],则将nums[i]放入d[len+1], len++;
- 如果nums[i]<=d[len],则使用二分查找在数组d中找到第一个比nums[i]小的数d[k],并将d[k+1]设为nums[i];
代码如下:
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if(nums.empty()) return 0;
int len=1;
vector<int> d(nums.size()+1, 0);
d[len] = nums[0];
for(int i=1; i<nums.size(); i++){
if(nums[i]>d[len]) d[++len] = nums[i];
else{
int left=1, right=len, pos=0;
while(left<=right){
int mid = (left+right)>>1;
if(d[mid]<nums[i]){
pos = mid;
left = mid+1;
}else{
right = mid-1;
}
}
d[pos+1] = nums[i];
}
}
return len;
}
};
- 时间复杂度:O(nlogn)
遍历需要O(n),每次遍历需要O(logn)二分查找,所以为O(nlogn) - 空间复杂度:O(n)