【LeetCode-数学/二分查找】x 的平方根

题目描述

实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。
示例：

输入: 4
输出: 2

输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842..., 
     由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

题目链接： https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx/

思路1

在 1~x 范围内遍历，对于当前的数字 i：

• 如果 i == x / i （防溢出），则 i 就是 x 的平方根；
• 如果 i > x / i （防溢出），则 i-1 就是 x 的平方根；

代码如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;
        for(int i=1; i<=x; i++){
            if(i==x/i) return i;    // 不能写成 if(i*i==x)，会溢出
            if(i>x/i) return i-1;   // 不能写成 if(i*i>x)，会溢出
        }
        return 0;
    }
};

• 时间复杂度：O(sqrt(x))
• 空间复杂度：O(1)

思路2

上面的代码是顺序查找，可以写成二分查找加快速度。注意二分查找不能写成如下形式：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;

        int left = 1, right = x;
        while(left<=right){
            int mid = left + (right-left)/2;
            if(mid == x/mid) return mid;
            else if(mid > x/mid){
                right = mid-1;
            }else if(mid < x/mid){
                left = mid+1;
            }
        }
        return 0;
    }
};

这就是普通的二分查找，这样写有一个问题，就是只有对平方根原本就是整数的数才会返回正确的结果，例如，4 的平方根是 2，能返回正确的结果，而 8 的平方根是 2.82842，不能返回正确的结果。
正确的写法如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;

        int left = 1, right = x;
        int ans = -1;
        while(left<=right){
            int mid = left + (right-left)/2;
            if(mid <= x/mid){
                ans = mid;
                left = mid+1;
            }else{
                right = mid-1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

当mid <= x/mid时，我们将 ans 更新为 mid，mid 更新为 mid+1，逐渐逼近真实的平方根。

用二分查找求解还有一种写法，就是和普通的二分查找一样，循环结束时会得到 mid，如果 mid*mid = x，返回 mid；如果 mid*mid>x，返回 mid-1。代码如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;

        int left = 1;
        int right = x;
        int mid = 1;
        while(left<right){
            mid = left + (right-left)/2;
            if(mid==x/mid) break;
            else if(mid<x/mid) left = mid+1;
            else if(mid>x/mid) right = mid;
            
        }
        
        if(mid<=x/mid) return mid;
        else return mid-1;
    }
};

推荐这种写法，因为形式上和普通二分查找的写法一样，最后根据 mid 平方和 x 的情况返回即可。

• 时间复杂度：O(logx)
• 空间复杂度：O(1)

思路3

使用牛顿迭代法。牛顿迭代法是一种快速找函数零点的方法，求 C 的平方根就是找函数 f(x) = x^2 - C 的零点。牛顿迭代法的过程如下：

• 选择一个初始点(x0, f(x0))，以该点以及该点的斜率（2*x0）做一条切线，该切线与 x 轴的相交点为 (x1, 0);
• 以 x1 作垂线与函数 f(x) 的交点为 (x1, f(x1))，重复上面的步骤，我们就可以得到一个距离零点非常近的点。

下面计算 (x_i) 和 (x_{i+1}) 之间的关系，过点 ((x_{i}, f(x_{i}))) 且斜率为 (2x_i) 的直线方程为

该直线与 x 轴的交点就是 (x_{i+1})。令 y=0，得

当 (x_i) 与 (x_{i+1}) 相差非常小时（例如相差 1e-6 或者 1e-7），我们就认为 (int(x_i)) 是零点，也就是我们要求的平方根。
代码如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;

        double C = x, curX = x;
        while(true){
            double nextX = 0.5 * (curX + C/curX);
            if(fabs(nextX - curX)<1e-7){
                break;
            }
            curX = nextX;
        }
        return int(curX);
    }
};

• 时间复杂度：O(logn)
• 空间复杂度：O(1)

思路4

使用数学的方法（被称为“袖珍计算器算法”）：

需要注意的是，由于计算机无法存储精确的浮点数，所以这种方法求得的答案 ans 会有误差。例如，对于数字 2147395600，(e^{frac{1}{2}lnx})的结果 46639 与正确答案 46640 相差 (10^{-11})。所以，我们求得 ans 后需要判断 ans 和 ans+1 哪一个才是正确的答案。代码如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;

        int ans = exp(0.5 * log(x));
        if((ans+1)<=x/(ans+1)) return ans+1;
        else return ans;
    }
};

• 时间复杂度：O(1)
• 空间复杂度：O(1)

参考

1、https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx/solution/x-de-ping-fang-gen-by-leetcode-solution/