LOJ3228「USACO 2019.12 Platinum」Tree Depth

题意

求所有(n)元逆序对数为(k)的排列所对应的笛卡尔树中（每次选区间最小连在父亲下，再分为左右两部分递归），求每个位置在所有树中的深度和
(1 le n le 300)

思路

是设(f_k)表示逆序对数为(k)的(n)排列的数量，那么其生成函数:

[F(x)=prod_{i=0}^{n-1}sum_{j=0}^{i}x^j ]

（大概就是看一下在前面所有数中的位置）

然后再来看需要求的东西，深度和即为有多少个父亲。(i)为(j)的父亲需要满足(i)是([i,j])或([j,i])的最小值。考虑生成函数中的顺序其实可以调换，我们不一定要按从前到后的顺序来考虑，也可以先把([l,r])区间拿出来考虑内部的逆序对，再从后往前考虑([1,l])考虑对([i+1,l])中数的贡献，在从前往后考虑([r+1,n])的数对([1,i-1])中的贡献，对于每一个式子，都能够构造出与之对应的排列，也就是说，只要你是挨着构造的，且大小关系不产生矛盾，那一“项”对应那一个位置都没问题。

然后单独考虑(i，j)的父子关系，若(i)为([i,j])中的最小值，则(i)会贡献(0)个逆序对，此时(i)是(j)的父亲。若(j)是([i,j])中的最小值，则(j)会贡献(len-1(j-i))个逆序对。为了方便，我们把(i,j)这个位置贡献的逆序对数目拿出来单独考虑，即(1+x+ dots +x^{len})那一项除掉。然后对于前者，有(f[k])个排列，后者有(f[k-(len-1)])个

来自蒟蒻zjy的瞎掰，看的人不会很多，有耐心看的人可能就我一个，你们如果真想研究可以去zsy大佬那儿看看

#include <bits/stdc++.h>
int f[300*160],n,k,N,mu,ans[305];
void reduce(int &x) {x+=x>>31&mu;}
void cheng(int k){
	for (int i=N;i>=k;i--) reduce(f[i]-=f[i-k]);
	for (int i=1;i<=N;i++) reduce(f[i]+=f[i-1]-mu);
} 
void chu(int k){
	for (int i=N;i;i--) reduce(f[i]-=f[i-1]);
	for (int i=k;i<=N;i++) reduce(f[i]+=f[i-k]-mu);
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&mu);
	N=n*(n-1)/2;
	f[0]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++) cheng(i);
	for (int i=1;i<=n;i++) ans[i]=f[k];//自己的深度
	for (int i=2;i<=n;i++){
		chu(i);//此段区间加入的贡献下面重新算
		for (int j=1;j+i-1<=n;j++){
			if (k-(i-1)>=0) reduce(ans[j]+=f[k-(i-1)]-mu);//j+i-1最小 
			reduce(ans[j+i-1]+=f[k]-mu);//j最小 
		}
		cheng(i); 
	} 
	for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]); 
} 

后记

大型补blog现场（补不完了）