数理方程：常微分方程基础

更新：25 MAR 2016

一阶线性常微分方程

齐次

(large y’(x)+p(x)y(x)=0)

分离        //注意不是“分离变量”，因为y是x的函数

(large dfrac{dy}{y}=-p(x)dx)

两边积分即可

非齐次

(large y’(x)+p(x)y(x)=q(x))

积分因子法

(large y_h(x)=Cexp[-int p(x)dx])

定义积分因子

(large m(x)=exp[int p(x)dx])

注意

(large m’(x)=m(x)p(x))

因此

(large frac{d}{dx}(m(x)y(x))=m(x)(y’(x)+p(x)y(x)))
这样可以直接得到

(large y(x)=dfrac{1}{m(x)}int m(x)q(x)dx)

常数变易法

从齐次方程的解出发

(large y_h(x)=Cexp[-int p(x)dx])

将其中的常数C替换为x的函数C(x)

(large y(x)=C(x)exp[-int p(x)dx])

代回原方程

(large C’(x)exp[int p(x)dx]-C(x)p(x)exp[int p(x)dx]+p(x)C(x)exp[int p(x)dx]=q(x))

消掉了其中两项，

(large C’(x)exp[int p(x)dx]=q(x))

积分即可。

二阶线性常系数常微分方程

齐次

(large y’’(x)+by’(x)+cy(x)=0)

特征方程法

由于默认方程解为(y(x)=e^{rx})形式，代入得到特征方程

(large r^2+br+c=0)

一元二次方程，(d=b^2-4c)

d>0, 根(r_1 eq r_2)

(large y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x})

d=0, 根(r_1=r_2)

(large y(x)=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx})

d<0, 视r为复数即可。利用欧拉公式可以化为实数三角函数式。

非齐次

(large y’’(x)+by’(x)+cy(x)=f(x))

由于没有一般的解法，只能总结常见的特殊情况

一般思路：按照齐次方程解法解出其基础解系，再找到一个特解相加得到所有通解

1. (large f(x)=e^{lambda x}P_m(x))型

注：(P_m(x))指m阶多项式。

设(y(x)=g(x)e^{lambda x})，代入原方程，

(large g’’(x)+(2lambda +b)g’(x)+(lambda^2+plambda+q)g(x)=P_m(x))

讨论：

i. 若(lambda)不是特征方程的根：(lambda^2+plambda+q eq 0)

设(g(x)=g_m(x))为m阶多项式，待定系数求解，特解(y=g_m(x)e^{lambda x})

ii. 若(lambda)是特征方程的单根：(lambda^2+plambda+q=0)，而(2lambda +b eq 0)

设(g(x)=xg_m(x))，待定系数求解，特解(y=xg_m(x)e^{lambda x})

iii. 若(lambda)是特征方程的重根：(lambda^2+plambda+q=0)，且(2lambda +b=0)

设(g(x)=x^2g_m(x))，待定系数求解，特解(y=x^2g_m(x)e^{lambda x})

2. (large f(x)=e^{lambda x}P_m(x)cosomega x)型

利用欧拉公式合并，(lambda'=lambda +mathrm{i}omega)。用上面方法求特解，取其实部。对于(sinomega x)，取虚部。

3.(large f(x)=e^{lambda x}[P_l(x)cosomega x+P_n(x)cosomega x])型

利用欧拉公式合并，得到和的形式，拆成两个方程，分别按照上面方法求特解，再将两个特解加即可（必要时再展开成三角函数）。