更新:25 MAR 2016
对于周期函数（周期为(2pi)）或定义在([-pi,pi])上的函数(f(x))，可以展开为*
(large f(x)=dfrac{a_0}{2}+sumlimits_{n=1}^{infty}(a_ncos nx+b_nsin nx)quad n=0,1,2,…)
则系数为
(large a_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cdotcos nx dx)
(large b_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cdotsin nx dx)
对于周期函数（周期为(2l)）或定义在([-l,l])上的函数(f(x))，
(large f(x)=dfrac{a_0}{2}+sumlimits_{n=1}^{infty}left(a_ncosfrac{npi}{l}x+b_nsinfrac{npi}{l}x ight))
则系数为
(large a_n=frac{1}{l}int_{-l}^{l}f(x)cdotcosfrac{npi}{l}xdx)
(large b_n=frac{1}{l}int_{-l}^{l}f(x)cdotsinfrac{npi}{l}xdx)
对于定义在([0,l])上的函数(f(x))，展成Fourier级数，需要用到延拓的概念，此时可以选择奇延拓（展成正弦函数）或偶延拓（展成余弦函数）
奇延拓（展成正弦函数）
(large f(x)=sumlimits_{n=1}^{infty}b_nsinfrac{npi}{l}x)
(large b_n=frac{2}{l}int_{0}^{l}f(x)cdotsinfrac{npi}{l}xdx)
偶延拓（展成余弦函数）
(large f(x)=dfrac{a_0}{2}+sumlimits_{n=1}^{infty}a_ncosfrac{npi}{l}x)
(large a_n=frac{2}{l}int_{0}^{l}f(x)cdotcosfrac{npi}{l}xdx)
* 展开有条件（Dirichlet条件），此处不详细说明。对于一般数学物理方程基本适用。