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  • 数理方程:Fourier级数

    更新:25 MAR 2016

    对于周期函数(周期为(2pi))或定义在([-pi,pi])上的函数(f(x)),可以展开为*

    (large f(x)=dfrac{a_0}{2}+sumlimits_{n=1}^{infty}(a_ncos nx+b_nsin nx)quad n=0,1,2,…)

    则系数为

    (large a_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cdotcos nx dx)

    (large b_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cdotsin nx dx)

    对于周期函数(周期为(2l))或定义在([-l,l])上的函数(f(x)),

    (large f(x)=dfrac{a_0}{2}+sumlimits_{n=1}^{infty}left(a_ncosfrac{npi}{l}x+b_nsinfrac{npi}{l}x ight))

    则系数为

    (large a_n=frac{1}{l}int_{-l}^{l}f(x)cdotcosfrac{npi}{l}xdx)

    (large b_n=frac{1}{l}int_{-l}^{l}f(x)cdotsinfrac{npi}{l}xdx)

    对于定义在([0,l])上的函数(f(x)),展成Fourier级数,需要用到延拓的概念,此时可以选择奇延拓(展成正弦函数)或偶延拓(展成余弦函数)

    奇延拓(展成正弦函数)

    (large f(x)=sumlimits_{n=1}^{infty}b_nsinfrac{npi}{l}x)

    (large b_n=frac{2}{l}int_{0}^{l}f(x)cdotsinfrac{npi}{l}xdx)

    偶延拓(展成余弦函数)

    (large f(x)=dfrac{a_0}{2}+sumlimits_{n=1}^{infty}a_ncosfrac{npi}{l}x)

    (large a_n=frac{2}{l}int_{0}^{l}f(x)cdotcosfrac{npi}{l}xdx)

    * 展开有条件(Dirichlet条件),此处不详细说明。对于一般数学物理方程基本适用。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/fnight/p/5321307.html
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