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  • 数理方程:二阶线性偏微分方程的分类和标准式

    更新:9 APR 2016

    ========方法========

    对于任意的二元二阶齐次线性偏微分方程,

    (a_{11}dfrac{partial^2u}{partial x^2}+2a_{12}dfrac{partial^2 u}{partial xpartial y}+a_{22}dfrac{partial^2 u}{partial y^2}+b_1dfrac{partial u}{partial x}+b_2dfrac{partial u}{partial y}+cu=0)

    求特征方程、确定分类、化为标准型的方法为:

    1.截:只关心其中的二阶部分

    (a_{11}dfrac{partial^2u}{partial x^2}+2a_{12}dfrac{partial^2 u}{partial xpartial y}+a_{22}dfrac{partial^2 u}{partial y^2}=0)

    2.换:将偏导数换成dx、dy

    (dfrac{partial^2 u}{partial x^2} ightarrow (dy)^2)

    (dfrac{partial^2 u}{partial y^2} ightarrow (dx)^2)

    (dfrac{partial^2 u}{partial xpartial y} ightarrow color{red}{ extbf{–}}(dxdy)) 注意负号!

    (a_{11}(dy)^2color{red}{ extbf{–}}{color{blue}2}a_{12}(dxdy)+a_{22}(dx)^2=0)

    此即特征方程

    3.分:特征方程中的系数(a_{ij})可能是关于x、y的函数,即便如此仍视其为普通系数。这是一个二次方程,可以写出其(Delta)

    (Delta=a_{12}^2-a_{11}a_{22})

    在方程的定义域内讨论其符号,

    (Delta{color{blue}<}0) 椭圆形(elliptic)方程,如Laplace方程;

    (Delta=0) 抛物型(parabolic)方程,如一维热方程;

    (Delta{color{blue}>}0) 双曲型(hyperbolic)方程,如一维波动方程。

    此即方程的分类。此外有混合型。

    4.反:解出dy与dx的关系式,注意用分解因式法可能比较简单。得到两个常微分方程(或一个)。

    得到两个方程时,解出两个y与x的关系,注意这两个等式中分别有一个积分常数。将积分常数作为新的坐标(记作(xi, eta)),反写两等式,即用x、y表示这两个坐标。这时就进行了变量代换。

    对于抛物型方程,得到一个常微分方程,解之,得到一个坐标;另一个坐标可以任意假设,如设作y。注意做偏微分时不能直接替换,需要用链式法则计算。

    5.导:计算u关于x、y的一阶、二阶偏导数与混合偏导数,用(xi, eta)表示。

    6.代:将上面的偏导数代入原方程,得到简化的以(xi, eta)为自变量的方程。此即方程的标准型

    7.解:按照标准解法解之,得到关于(xi, eta)的通解。代换回x,y利用边界条件解之。

    ========原理========

    之所以写特征方程,是因为在这里希望将原方程

    (a_{11}dfrac{partial^2u}{partial x^2}+2a_{12}dfrac{partial^2 u}{partial xpartial y}+a_{22}dfrac{partial^2 u}{partial y^2}+b_1dfrac{partial u}{partial x}+b_2dfrac{partial u}{partial y}+cu=0)

    化为

    (A_{11}dfrac{partial^2u}{partial xi^2}+2A_{12}dfrac{partial^2 u}{partial xipartial eta}+A_{22}dfrac{partial^2 u}{partial eta^2}+B_1dfrac{partial u}{partial xi}+B_2dfrac{partial u}{partial eta}+Cu=0)

    其中变量代换

    (xi=varphi(x,y))

    (eta=psi(x,y))

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