数理方程：波动方程的行波法

更新：17 APR 2016

借鉴常微分方程的思路，先对偏微分方程求通解，再通过边界条件等确定其中的任意函数与系数。然而这种思路只对少数偏微分方程可行。

一维波动方程 | d'Alembert公式

(dfrac{partial^2u}{partial t^2}=a^2dfrac{partial^2u}{partial x^2})

进行变量代换，

(xi =x+at)

(eta = x-at)

计算两级偏导数，代入方程得到

(dfrac{partial^2u}{partial xi partialeta}=0)

积分得到含有两个任意函数的结果

(u(xi,eta)=f_1(xi)+f_2(eta))

即

(u(x,y)=f_1(x+at)+f_2(x-at))

此即一维波动方程的通解。

对于一般的初始条件，

(u|_{t=0}=varphi(x),quad –infty<x<+infty)

(left.dfrac{partial u}{partial t} ight|_{t=0}=psi(x),quad –infty<x<+infty)

可以解得

(u(x,t)=dfrac{1}{2}[varphi(x+at)+varphi(x-at)]+dfrac{1}{2a}int_{x-at}^{x+at}psi(zeta)dzeta)

此即无限长弦自由振动（齐次）的d'Alembert公式。
注意方向相反的行波可能合成驻波：

（图片来源：Wikipedia.org）

【依赖区间】点(x,t)的函数值u(x,t)由x轴上的区间([x-at,x+at])内的初始条件决定，此区间即此点的依赖区间。

【决定区域】x轴上的区间([x_1,x_2])决定在x-t平面内x轴、直线(x=x_1+at)、直线(x=x_2-at)围成的三角形区域内所有的点(x,t)的值u(x,t)，此区域即此区间的决定区域。

【影响区域】x轴上的区间([x_1,x_2])影响在x-t平面内x轴、直线(x=x_1-at)、直线(x=x_2+at)围成的区域内所有的点(x,t)的值u(x,t)，此区域即此区间的影响区域。

三维波动方程 | Poisson公式

三维波动方程

(dfrac{partial^2 u}{partial t^2}=a^2 abla^2 u)

对应一般化的初始条件

(u|_{t=0}=varphi( extbf{r}))

(left.dfrac{partial u}{partial t} ight|_{t=0}=psi( extbf{r}),quad –infty<x<+infty)

若体系球对称，即u与( heta, varphi)无关。方程化为

(dfrac{partial^2u}{partial t^2}=a^2left(dfrac{partial^2u}{partial r^2}+dfrac{2}{r}dfrac{partial u}{partial r} ight))

此时解为

(u(r,t)=dfrac{f_1(r+at)+f_2(r-at)}{r})

实际上球对称即准一维问题。

一般三维的情况，使用球平均法

取空间中任一点(M(x,y,z))，u在以点M为球心，r为半径的球面(S_r^M)上的平均值

(ar{u}_M(r,t)=dfrac{1}{4pi r^2}intint_{S_r^M} u(xi,eta,zeta,t)dS)

若u为连续的，则u在(M,t)点的值为

(u( extbf{M},t)=limlimits_{r ightarrow 0}ar{u}_M(r,t)=ar{u}_M(0,t))

最终的结果是

(u( extbf{M},t)=dfrac{1}{4pi a}dfrac{partial}{partial t}iint_{S_{at}^M}dfrac{varphi(x’,y’,z’)}{at}dS+dfrac{1}{4pi a}iint_{S_{at}^M}dfrac{psi(x’,y’,z’)}{at}dS)

一般二维的情况，使用降维法。