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  • 二枪手决斗均衡

    二枪手各有一发子弹,逐渐走近,选择最佳时机开枪射击。

    假设二枪手在距离d时射中对方的概率分别为f1(d) 和 f2(d),由最大距离D彼此走近,此时f1(D)=f2(D)=0; 当二人接触时,f1(0)=f2(0)=1。则D>=d>=0, 二人胜率0<=y1,y2<=1。

    把距离D分成N段,D=d0,d1,...,dN=0,易见:f1(dN)=f2(dN)=1。在距离di时,1先开枪,1胜率为f1(di), 2先开枪,1胜率为1-f2(di)。考虑dN:1,2先开枪1胜率分别为f1(dN)=1 和1-f2(dN)=0 所以1 (实为双方)最优策略是先开枪。

    考虑:d(N-1), 1,2先开枪1胜率分别为 f1(d(N-1))和 1-f2(d(N-1))。 对1,如果f1(d(N-1))>=1-f2(d(N-1)),则应先开枪;对2,若f2(d(N-1))>=1-f1(d(N-1)),则应先开枪; 易见二者等价,均为f1(d(N-1))+f2(d(N-1))>=1
    继续增加d,直到某点dk,此时f1(d(N-1))+f2(d(N-1))=1,此时对1和2来说,是否先开枪不重要;而当距离继续增加是,不开枪是较优策略。于是我们有对1和2,当d0-dk-1时最优策略是不开枪;dk-dN最优策略是开枪。

    所以得到,无论二者枪法如何,都会在一个特定距离(dk)同时开枪!

    image

    本解假定双方对彼此实力有清晰的了解,如果任何一人(例如1)高估了任何一方的实力,则f=f1(d)+f2(d)会比实际(也是另一方分析结果)为高,因此与y=1交点要向右偏移,也就是会晚开枪;反之同理。

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