《程序设计与算法（二）算法基础》《第五周 分治》求排列的逆序数 11

011:求排列的逆序数

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描述

在Internet上的搜索引擎经常需要对信息进行比较，比如可以通过某个人对一些事物的排名来估计他（或她）对各种不同信息的兴趣，从而实现个性化的服务。

对于不同的排名结果可以用逆序来评价它们之间的差异。考虑1,2,…,n的排列i₁，i₂，…，i_n，如果其中存在j,k，满足 j < k 且 i_j > i_k， 那么就称(i_j,i_k)是这个排列的一个逆序。

一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数。例如排列 263451 含有8个逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此该排列的逆序数就是8。显然，由1,2,…,n 构成的所有n!个排列中，最小的逆序数是0，对应的排列就是1,2,…,n；最大的逆序数是n(n-1)/2，对应的排列就是n,(n-1),…,2,1。逆序数越大的排列与原始排列的差异度就越大。

现给定1,2,…,n的一个排列，求它的逆序数。

输入

第一行是一个整数n，表示该排列有n个数（n <= 100000)。
第二行是n个不同的正整数，之间以空格隔开，表示该排列。

输出

输出该排列的逆序数。

样例输入

6
2 6 3 4 5 1

样例输出

8

提示

1. 利用二分归并排序算法（分治）；
2. 注意结果可能超过int的范围，需要用long long存储。

/*
http://cxsjsxmooc.openjudge.cn/2019t2summerall/011/
求排列的逆序数
MergeSort
归并排序
复杂度： n*log(n)
*/
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include<iostream>
using namespace std;
long long MergeSort(int a[], int s, int e, int tmp[]);
void Merge(int a[], int s, int m, int e, int tmp[]);
//int a[] = { 2,6,3,4,5,1 };
//int b[6];
int a[100010];
int b[100010];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        scanf("%d", &a[i]);
    printf("%lld", MergeSort(a, 0, n - 1, b));
    return 0;

    //int size = sizeof(a) / sizeof(int);
    //long long result = MergeSort(a, 0, size - 1, b);
    //for (int k = 0; k < size; k++)
    //    cout << a[k] << " ";
    //cout << "
" ;
    //cout << result << endl;
    //return 0;
}
/*归并排序 s ：数组开始 e ：数组结尾*/
// 将数组 a 的局部 a[s, m] 和 a[m + 1, e] 合并到 tmp, 并保证 tmp 有序，然后再拷贝回 a[s, m]
// 归并操作时间复杂度： O (e-m+1), 即 O (n)
long long count(int a[], int s, int m, int e)
//从大到小合并[s,m], [m+1,e] 
{
    long long result = 0;
    int p1 = s;
    int p2 = m + 1;
    while (p1 <= m && p2 <= e)
    {
        if (a[p1] > a[p2])
        {
            result += e - p2 + 1;
            p1++;
        }
        else
        {
            p2++;
        }
    }
    return result;

}

long long MergeSort(int a[], int s, int e, int tmp[])
{
    long long result = 0;
    if (s < e) /*当只有一个元素时，递归终止，直接调用merge函数，比较 13和27大小，最后排序*/
    {
        int m;// cut array into half
        m = s + (e - s) / 2;
        result += MergeSort(a, s, m, tmp);/* 排好序的数组 临时放在哪里？ */
        result += MergeSort(a, m + 1, e, tmp);//分别求两边的逆序数 
        result += count(a, s, m, e);//然后再o(n)算左边和右边造成的逆序数 。此时要求左边和右边都是从大到小有序的，才能在o(n)时间内算出结果 
        Merge(a, s, m, e, tmp);//从大到小合并，确保排序 
    }
    return result;

}
void Merge(int a[], int s, int m, int e, int tmp[])
//从大到小合并[s,m], [m+1,e] 
{
    int i = 0;
    int p1 = s;
    int p2 = m + 1;
    while (p1 <= m && p2 <= e)
    {
        if (a[p1] > a[p2])
        {
            tmp[i++] = a[p1++];
        }
        else
        {
            tmp[i++] = a[p2++];
        }
    }
    while (p1 <= m)
        tmp[i++] = a[p1++];
    while (p2 <= e)
        tmp[i++] = a[p2++];
    for (int j = 0; j < e - s + 1; j++)
    {
        a[s + j] = tmp[j];
    }

}