https://www.datalearner.com/blog/1051539312290417
在统计学中，普通最小二乘法（OLS）是一种用于在线性回归模型中估计未知参数的线性最小二乘法。 OLS通过最小二乘法原则选择一组解释变量的线性函数的参数：最小化给定数据集中观察到的因变量（被预测变量的值）与预测变量之间残差的平方和。这篇博客将简要描述其参数的求解过程（模型的表示参考：最小二乘法简介）。
我们以一个二元数据为例，假设有一组数据X={(x_1,y_1),cdots,(x_m,y_m)}X={(x1,y1),⋯,(xm,ym)}，我们希望求出一条直线，来拟合这一组数据：
y = xeta + eta_0y=xβ+β0
残差平方和：
S(eta) = sum_{i=0}^m (y_i - x_ieta - eta_0)^2S(β)=∑i=0m(yi−xiβ−β0)2
我们要求出etaβ和eta_0β0使得上述目标函数取得最小值，显然，可以通过对etaβ和eta_0β0分别求偏导得到：
egin{aligned} frac{partial S(eta)}{partialeta} &= sum_{i=1}^m2(y_i-x_ieta-eta_0)(-x_i) \ \ & = sum_{i=1}^m(-2)(x_iy_i - x_i^2eta - eta_0x_i) \ \ & = 2sum_{i=1}^m(x_i^2eta+eta_0x_i - x_iy_i) \ end{aligned}∂β∂S(β)=∑i=1m2(yi−xiβ−β0)(−xi)=∑i=1m(−2)(xiyi−xi2β−β0xi)=2∑i=1m(xi2β+β0xi−xiyi)
egin{aligned} frac{partial S(eta)}{partialeta_0} &= sum_{i=1}^m2(y_i-x_ieta-eta_0)(-1) \ \ & = sum_{i=1}^m(-2)(y_i - x_ieta - eta_0) \ \ & = 2sum_{i=1}^m(x_ieta+eta_0 - y_i) \ \ & = 2(meta frac{sum_{i=1}^m(x_i)}{m} + meta_0 - mfrac{sum_{i=1}^my_i}{m}) \ end{aligned}∂β0∂S(β)=∑i=1m2(yi−xiβ−β0)(−1)=∑i=1m(−2)(yi−xiβ−β0)=2∑i=1m(xiβ+β0−yi)=2(mβm∑i=1m(xi)+mβ0−mm∑i=1myi)
令ar{x} = frac{sum_{i=1}^m(x_i)}{m}x¯=m∑i=1m(xi)，ar{y}=frac{sum_{i=1}^my_i}{m}y¯=m∑i=1myi
那么，上述第二个偏导结果：
frac{partial S(eta)}{partialeta_0} = 2 m (eta ar{x} + eta_0 - ar{y})∂β0∂S(β)=2m(βx¯+β0−y¯)
令第二个偏导等于0：
egin{aligned} 2 m (eta ar{x} + eta_0 - ar{y}) &= 0 \ \ eta_0 = ar{y} - etaar{x} end{aligned}2m(βx¯+β0−y¯)β0=y¯−βx¯=0
令上述第一个偏导结果等于0，并带入上述eta_0β0有：
egin{aligned} frac{partial S(eta)}{partialeta} &= 0\ \ 2sum_{i=1}^m[x_i^2eta+(ar{y} - etaar{x})x_i - x_iy_i] &= 0 \ \ eta(sum_{i=1}^mx_i^2 - ar{x}sum_{i=1}^mx_i) &= sum_{i=1}^mx_iy_i - ar{y}sum_{i=1}^mx_i \ \ eta &= frac{sum_{i=1}^mx_iy_i - ar{y}sum_{i=1}^mx_i}{sum_{i=1}^mx_i^2 - ar{x}sum_{i=1}^mx_i}\ \ eta &= frac{sum_{i=1}^mx_iy_i - ar{y}sum_{i=1}^mx_i - mar{y}ar{x} + m ar{y}ar{x}}{sum_{i=1}^mx_i^2 - 2ar{x}sum_{i=1}^mx_i+ ar{x}sum_{i=1}^mx_i} \ \ eta &= frac{sum_{i=1}^mx_iy_i - ar{y}sum_{i=1}^mx_i - sum_{i=1}^my_iar{x} + m ar{y}ar{x}}{sum_{i=1}^mx_i^2 - 2ar{x}sum_{i=1}^mx_i+ mar{x}^2} \ \ eta &= frac{sum_{i=1}^m(x_iy_i - ar{y}x_i - y_iar{x} + ar{y}ar{x})}{sum_{i=1}^m(x_i - ar{x})^2} \ \ eta &= frac{sum_{i=1}^m(x_i-ar{x})(y_i - ar{y})}{sum_{i=1}^m(x_i - ar{x})^2} \ end{aligned}∂β∂S(β)2∑i=1m[xi2β+(y¯−βx¯)xi−xiyi]β(∑i=1mxi2−x¯∑i=1mxi)βββββ=0=0=∑i=1mxiyi−y¯∑i=1mxi=∑i=1mxi2−x¯∑i=1mxi∑i=1mxiyi−y¯∑i=1mxi=∑i=1mxi2−2x¯∑i=1mxi+x¯∑i=1mxi∑i=1mxiyi−y¯∑i=1mxi−my¯x¯+my¯x¯=∑i=1mxi2−2x¯∑i=1mxi+mx¯2∑i=1mxiyi−y¯∑i=1mxi−∑i=1myix¯+my¯x¯=∑i=1m(xi−x¯)2∑i=1m(xiyi−y¯xi−yix¯+y¯x¯)=∑i=1m(xi−x¯)2∑i=1m(xi−x¯)(yi−y¯)
这样，etaβ和eta_0β0就可以求出来了。
对于多元形式，则可以运用矩阵运算来求解。如上所述，我们的目标函数是：
S(old{eta}) = sum_{i=1}^m |y_i - sum_{j=1}^n x_{ij}eta_j|^2 = ||y- old{X} old{eta}^T||^2S(β)=∑i=1m∣yi−∑j=1nxijβj∣2=∣∣y−XβT∣∣2
如果要使上述目标函数最小，显然其结果为0，即：
y- old{X} old{eta}^T = 0y−XβT=0
也就是说：
egin{aligned} old{X}eta^T &= y \ \ old{X}^Told{X}eta^T &= old{X}^Ty \ \ (old{X}^Told{X})^{-1}old{X}^Told{X}eta^T &= (old{X}^Told{X})^{-1}old{X}^Ty \ \ eta^T &= (old{X}^Told{X})^{-1}old{X}^Ty \ end{aligned}XβTXTXβT(XTX)−1XTXβTβT=y=XTy=(XTX)−1XTy=(XTX)−1XTy