线性空间的同构理论

以下内容来自上学期我的高等代数学习心得

下面简单整理有关线性空间同构的性质与其相关结论和定理.下面的两个定理是讨论各种问题的基础(注意均未要求维数有限)

定理1(同构的万有性质)
设$V_1$和$V_2$同构，$varphi$是同构映射，则对于任意向量空间$W$，对任意$sigma in L(V_1,W)$,存在唯一的$sigma' in L(V_2,W)$,使得$sigma = sigma' circ varphi$

定理2(商空间的万有性质)
设$S subset V$是向量空间$V$的子空间,$pi_S$是$V o V/S$的自然同态.对于向量空间$W$,若$ au in L(V,W)$满足$S subset ker( au)$,则存在唯一的$ au' in L(V/S,W)$，使得$ au = pi_S circ au'$

下面的对应原理也相当重要
定理3(对应原理)
设$S subset V$是向量空间$V$的子空间,则在自然同态下，$V$的所有包含$S$的向量空间与$V/S$的所有子空间建立了一一对应

由此可推出下面的三个同构定理

定理4(第一同构定理)
设$V,W$是两个向量空间,$sigma in L(V,W)$是线性映射.则
[ V/ ext{Ker}(sigma) cong ext{Im}(sigma) ]

定理5(第二同构定理)
设$S,T subset V$是向量空间$V$的两个子空间，则
[ (S+T)/S cong S/(S cap T) ]

定理6(第三同构定理)
设$S subset T subset V$均为向量空间，则
[ frac{V/S}{T/S} cong V/T ]

另外，还有
命题1
设$V = V_1 oplus V_2,S = S_1 oplus S_2$均为向量空间，则
[ frac VS = frac{V_1 oplus V_2}{S_1 oplus S_2} cong frac{V_1}{S_1} oxplus frac{V_2}{S_2} ]

下面的定理与对偶空间相关

定理7

设$V$是向量空间，则$dim(V) le dim(V^*)$.等号成立当且仅当$V$是有限维.

定理8
设$V$是向量空间，对$alpha in V$,定义$overline {alpha} in V^{**}$，满足$overline{alpha}(f) = f(alpha)$.则映射$ au:V o V^{**}:alpha mapsto overline{alpha}$是单同态。且当$V$是有限维的时候，$ au$是同构映射

命题2
$ au( ext{span}(M)) = M^{00}$

命题3
$(S+T)^0 = S^0 cap T^0 , (S cap T)^0 = S^0 + T^0$

命题4

设$V = S oplus T$均为向量空间，则
[ T^* cong S^0 ]
从而，当$V$有限维时，$dim S + dim S^0 = dim V $

命题5

设$V = S oplus T$均为向量空间，则
[ (S oplus T)^* = S^0 oplus T^0 ]

下面几个命题与转置映射有关

定理9
设$V,W$是向量空间,$ au in L(V,W)$是线性映射，$ au^t in L(W^*,V^*)$是转置映射，$( au^t)^t in L(V^{**},W^{**})$是转置映射的转置映射，则
[ ( au^t)^t(overline{alpha}) = overline{ au alpha} ]

定理10
设$V,W$是向量空间，$ au in L(V,W)$，则
[ ker( au^t) = ext{Im}( au)^0 qquad ext{Im}( au^t) = ker( au)^0 ]