问题：设$A$是一个实数域上$n imes n$的方阵,证明:
[ sum_{j=1}^n frac{|a_{jj}|}{|a_{1j}|+ |a_{2j}| + cdots + |a_{nj}|} le mathrm{r} (A) ]
其中,当某项的分母为$0$时，认为此项也为0.
证明：
由于我们可以将矩阵的每一列均乘以一个非零数,使得矩阵的秩不变.因此,我们可以使得$|a_{1j}|+ |a_{2j}| + cdots + |a_{nj}| = 1$或$0$,并且$a_{jj} ge 0$.
从而此时
[ sum_{j=1}^n frac{|a_{jj}|}{|a_{1j}|+ |a_{2j}| + cdots + |a_{nj}|} = sum_{j=1}^n a_{jj} = mathrm{tr}(A) ]
而我们证明:如果一个矩阵每列数的绝对值之和均不超过1,则该矩阵每个特征值的模长均不超过1.事实上,设$lambda$为$A$的一个特征值,从而
$Ax = lambda x Rightarrow |lambda x_i| = displaystyle left| sum_{j=1}^n a_{ij}x_j
ight| le sum_{j=1}^n |a_{ij}||x_j|,i = 1,cdots,n$
从而
[ |lambda| sum_{i=1}^n |x_i| le sum_{i=1}^n left( sum_{j=1}^n |a_{ij}||x_j|
ight) = sum_{j=1}^n left( sum_{i=1}^n |a_{ij}||x_j|
ight) le sum_{j=1}^n |x_j|]
从而$|lambda| le 1$
于是$mathrm{tr}(A) = sum lambda_i le sum |lambda_i| le mathrm{r}(A)$
其中,最后一步是因为不为$0$的特征值的个数等于矩阵的秩,而每个不为$0$的特征值的模长均小于1.