问题：设$A_1,cdots,A_n in M_n(mathbb{K}),g(x) in mathbb{K}[x],$使得$g(A_1),cdots,g(A_n)$都是非异阵.证明:存在$h(x) in mathbb{K}[x]$,使得$g(A_i)^{-1} = h(A_i)$对所有的$1 le i le m$都成立.
证明：
首先我们说明：对于可逆矩阵$X in M_n(mathbb{K})$,存在一个常数项非零的多项式$P(x) in mathbb{K}[x]$使得$P(X) = 0.$
(利用Hamilton-Cayley定理此命题显然,下面避开这个定理说明这个问题)
事实上,由于$X^{n^2},X^{n^2-1},cdots,X,I$在$K$中线性相关($n$阶矩阵构成的线性空间的维数为$n^2$),从而存在不全为0的常数$a_{n^2},cdots,a_1,a_0$使得$a_{n^2}X^{n^2}+cdots + a_1X + a_0 I = 0$.设$k$为$a_k
e 0$的最小下标,因此$X^k(a_{n^2}X^{n^2-k} + cdots +a_k) = 0$,由于$X$非异,从而$a_{n^2}X^{n^2-k} + cdots +a_k = 0$.于是命题得证.下面回到原命题.
由上述命题知,存在常数项非$0$的多项式$f_1(x),cdots,f_m(x)$使得$f_1(g(A_1)) = 0,cdots,f_m(g(A_m)) = 0$.令$F(x) = f_1(x)f_2(x) cdots f_m(x)$,
从而对于任意$i,F(g(A_i)) = 0$.设$F(x) = a_k x^k + a_{k-1}x^{k-1} + cdots a_1 x + a_0 (a_0
e 0)$,于是$F(g(A_i)) = a_k g(A_i)^k + a_{k-1}g(A_i)^{k-1} + cdots a_1 g(A_i) + a_0I = 0 $,从而
[ a_k g(A_i)^{k-1} + a_{k-1}g(A_i)^{k-2} + cdots + a_1 = -a_0(g(A_i))^{-1} (1 le i le m) ]
于是,令$displaystyle h(x) = -frac{F(g(x))-a_0}{a_0g(x)}$满足条件.