动态规划算法助记

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title: 动态规划算法助记

Never say die !

矩阵连乘问题

题目描述：

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如：

A1={30x35}

A2={35x15}

A3={15x5}

A4={5x10}

A5={10x20}

A6={20x25}

最后的结果为：((A1(A2A3))((A4A5)A6)) 最小的乘次为15125。

解题思路：

能用动态规划的一个性质就是最优子结构性质。

也就是说计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子琏A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。

动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算（即先从最小的开始计算）。

在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。

我们可以根据下面这个公式来计算结果。其中p[i-1]表示的是第i个矩阵的行数,p[k]表示i:k矩阵合起来后最后得到的列数，p[j]是k+1:j合起来后得到的列数。这个部分的计算方法其实就是计算两个矩阵相乘时总共的乘次数。

公式：

从连乘矩阵个数为2开始计算每次的最小乘次数m[i][j]:

 m[0][1] m[1][2] m[2][3] m[3][4] m[4][5]  //m[0][1]表示第一个矩阵与第二个矩阵的最小乘次数

然后再计算再依次计算连乘矩阵个数为3:

m[0][2] m[1][3] m[2][4] m[3][5]

连乘矩阵个数为4：

m[0][3] m[1][4] m[2][5]

连乘矩阵个数为5：

m[0][4] m[1][5]

连乘矩阵个数为6：

m[0][5]    //即最后我们要的结果

代码