资料链接：http://wenku.baidu.com/view/9de41d51168884868662d623.html
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几位大大的数位BLOG:http://www.cnblogs.com/jackge/archive/2013/05/15/3080958.html
http://www.cnblogs.com/kuangbin/category/476047.html
CXLOVE:http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7819907
给出数位DP的DFS记忆化DP模板；
因为原理比较简单，不用去构造方程，而且简洁。。
ll dfs(int pos,int cet,int sum,int flag){
if (sum<0) return 0;
if (pos<=0) return sum==0;
if (!flag&&dp[pos][cet][sum]!=-1) return dp[pos][cet][sum];
int end=flag?a[pos]:9;
ll ret=0;
for (int i=0;i<=end;i++)
ret+=dfs(pos-1,cet,sum+i*(pos-cet),flag&&(end==i));
if (!flag) dp[pos][cet][sum]=ret;
return ret;
if (sum<0) return 0;
if (pos<=0) return sum==0;
if (!flag&&dp[pos][cet][sum]!=-1) return dp[pos][cet][sum];
int end=flag?a[pos]:9;
ll ret=0;
for (int i=0;i<=end;i++)
ret+=dfs(pos-1,cet,sum+i*(pos-cet),flag&&(end==i));
if (!flag) dp[pos][cet][sum]=ret;
return ret;
}
复杂度是DP方程的状态数，DP设计的好坏与DP的状态数有关。。
FLAG表示是否在边界，当不再边界时我们可以做无关后面数的操作，否则，要考虑后面的数对前面有没有影响。。
我做的几道题：
HDU 3652:
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<algorithm> 4 #include<math.h> 5 #include<iostream> 6 using namespace std; 7 int a[123]; 8 int len; 9 int dp[11][90][90][10]; 10 11 12 int dfs(int pos,int sum,int res,int last,int flag) 13 { 14 if (pos<0) return res&&(sum==0); 15 if (!flag&&dp[pos][sum][res][last]!=-1) return dp[pos][sum][res][last]; 16 int end=flag?a[pos]:9; 17 int ret=0; 18 for (int i=0;i<=end;i++) 19 ret+=dfs(pos-1,(sum*10+i)%13,res||(last==1&&i==3),i,flag&&i==end); 20 if (!flag) dp[pos][sum][res][last]=ret; 21 return ret; 22 } 23 24 int get(int x) 25 { 26 len=0; 27 while (x){ 28 a[len++]=x%10; 29 x/=10; 30 } 31 return dfs(len-1,0,0,0,1); 32 } 33 34 int main() 35 { 36 int n; 37 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 38 while (scanf("%d",&n)!=EOF) 39 { 40 printf("%d ",get(n)); 41 } 42 }
HDU 3555:
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<algorithm> 4 #include<math.h> 5 #include<iostream> 6 using namespace std; 7 typedef long long ll; 8 int a[123]; 9 int len; 10 ll dp[60][90][10]; 11 12 13 ll dfs(int pos,int res,int last,int flag) 14 { 15 if (pos<0) return res; 16 if (!flag&&dp[pos][res][last]!=-1) return dp[pos][res][last]; 17 int end=flag?a[pos]:9; 18 ll ret=0; 19 for (int i=0;i<=end;i++) 20 ret+=dfs(pos-1,res||(last==4&&i==9),i,flag&&i==end); 21 if (!flag) dp[pos][res][last]=ret; 22 return ret; 23 } 24 25 ll get(ll x) 26 { 27 len=0; 28 while (x){ 29 a[len++]=x%10; 30 x/=10; 31 } 32 return dfs(len-1,0,0,1); 33 } 34 35 int main() 36 { 37 ll n; 38 int T; 39 scanf("%d",&T); 40 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 41 while (T--) 42 { 43 scanf("%I64d",&n); 44 printf("%I64d ",get(n)); 45 } 46 }
HDU 4389:有打表方法；每个100000个数打表，再统计；
数位DP代码:
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<algorithm> 4 #include<math.h> 5 typedef long long ll; 6 #define mod 2520 7 int inx[22456]; 8 ll dp[20][50][2522]; 9 int a[1234]; 10 using namespace std; 11 12 void init(){ 13 int num=0; 14 for (int i=1;i<=mod;i++) 15 if (mod%i==0) inx[i]=++num; 16 } 17 18 int gcd(int a,int b){ 19 if (a%b==0) return b; 20 return gcd(b,a%b); 21 } 22 23 int lcm(int a,int b){ 24 return a*b/gcd(a,b); 25 } 26 27 ll dfs(int pos,int slcm,int sum,int flag){ 28 if (pos<0) return sum%slcm==0; 29 if (!flag&&dp[pos][inx[slcm]][sum]!=-1) return dp[pos][inx[slcm]][sum]; 30 int end=flag?a[pos]:9; 31 ll ret=0; 32 for (int i=0;i<=end;i++){ 33 int nowlcm=slcm; 34 int nowsum=(sum*10+i) %mod; 35 if (i) nowlcm=lcm(nowlcm,i); 36 ret+=dfs(pos-1,nowlcm,nowsum,flag&&i==end); 37 } 38 if (!flag) dp[pos][inx[slcm]][sum]=ret; 39 return ret; 40 } 41 42 ll get(ll x) 43 { 44 int pos=0; 45 while (x) 46 { 47 a[pos++]=x%10; 48 x/=10; 49 } 50 return dfs(pos-1,1,0,1); 51 } 52 53 int main(){ 54 int T; 55 scanf("%d",&T); 56 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 57 init(); 58 while (T--){ 59 ll a,b; 60 scanf("%I64d%I64d",&a,&b); 61 printf("%I64d ",get(b)-get(a-1)); 62 } 63 return 0; 64 }
这里我们不可能保存每个值去除以其数位的和，我们可以枚举数位的和，然后DFS能满足的数的个数，再看其数能不能整除其数位。
数位和的状态是1-81。。。；
HDU 4334 :
1 #include<stdio.h> 2 #include<algorithm> 3 #include<math.h> 4 #include<string.h> 5 #include<algorithm> 6 7 using namespace std; 8 int bit[234]; 9 int dp[20480][20]; 10 11 int dfs(int t,int num,int flag) 12 { 13 if (t==0) return num>=0; 14 if (num<0) return 0; 15 if (!flag&&dp[num][t]!=-1) return dp[num][t]; 16 int ans=0; 17 int end=flag?bit[t]:9; 18 for (int i=0;i<=end;i++) 19 ans+=dfs(t-1,num-i*(1<<(t-1)),flag&&i==end); 20 if (!flag) dp[num][t]=ans; 21 return ans; 22 } 23 int main() 24 { 25 int T; 26 scanf("%d",&T); 27 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 28 for (int i=1;i<=T;i++) 29 { 30 int a,b; 31 scanf("%d%d",&a,&b); 32 int t=0; 33 int ans=0; 34 while (a) 35 { 36 ans+=a%10*(1<<t); 37 t++; 38 a/=10; 39 } 40 int len=0; 41 while (b) 42 { 43 bit[++len]=b%10; 44 b/=10; 45 } 46 printf("Case #%d: %d ",i,dfs(len,ans,1)); 47 } 48 return 0; 49 }
前面的做了差不多，这也是简单题了，先预处理F[A],然后处理。。
codeforces 55D: http://codeforces.com/problemset/problem/55/D
比较麻烦的题；求一个范围的书能被其数位整除的个数。
切题点：1-9的公倍数为2520;
我们可以定义方程DP[POS][LCM][SUM]表示：处理第POS位，其数位的最小公倍数数多少，该数MOD2520是多少，但是有个问题会爆内存，
要开DP[20][2520][2520];
解决办法是：2520=2^3*3^2*5*7
y于是又4*3*2*2= 48中组合。。
我们可以对LCM用下标代替，就不会爆内存了。。。真是奇妙的方法。。
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<algorithm> 4 #include<math.h> 5 typedef long long ll; 6 #define mod 2520 7 int inx[22456]; 8 ll dp[20][50][2522]; 9 int a[1234]; 10 using namespace std; 11 12 void init(){ 13 int num=0; 14 for (int i=1;i<=mod;i++) 15 if (mod%i==0) inx[i]=++num; 16 } 17 18 int gcd(int a,int b){ 19 if (a%b==0) return b; 20 return gcd(b,a%b); 21 } 22 23 int lcm(int a,int b){ 24 return a*b/gcd(a,b); 25 } 26 27 ll dfs(int pos,int slcm,int sum,int flag){ 28 if (pos<0) return sum%slcm==0; 29 if (!flag&&dp[pos][inx[slcm]][sum]!=-1) return dp[pos][inx[slcm]][sum]; 30 int end=flag?a[pos]:9; 31 ll ret=0; 32 for (int i=0;i<=end;i++){ 33 int nowlcm=slcm; 34 int nowsum=(sum*10+i) %mod; 35 if (i) nowlcm=lcm(nowlcm,i); 36 ret+=dfs(pos-1,nowlcm,nowsum,flag&&i==end); 37 } 38 if (!flag) dp[pos][inx[slcm]][sum]=ret; 39 return ret; 40 } 41 42 ll get(ll x) 43 { 44 int pos=0; 45 while (x) 46 { 47 a[pos++]=x%10; 48 x/=10; 49 } 50 return dfs(pos-1,1,0,1); 51 } 52 53 int main(){ 54 int T; 55 scanf("%d",&T); 56 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 57 init(); 58 while (T--){ 59 ll a,b; 60 scanf("%I64d%I64d",&a,&b); 61 printf("%I64d ",get(b)-get(a-1)); 62 } 63 return 0; 64 }
OJ挂了，现在也没评测出来。。
求一个范围[L,R]数中1的总数。。
方程想到就是超级大水题；
#include<stdio.h> #include<iostream> #include<string.h> #include<cmath> typedef long long ll; int a[123]; ll dp[123][123]; using namespace std; ll dfs(int pos,int num,int flag) { if (pos<0) return num; if (!flag&&dp[pos][num]!=-1) return dp[pos][num]; int end=flag?a[pos]:9; ll ret=0; for (int i=0;i<=end;i++) if (i==1) ret+=dfs(pos-1,num+1,flag&&end==i); else ret+=dfs(pos-1,num,flag&&end==i); if (!flag) dp[pos][num]=ret; return ret; } ll get(ll x) { int pos=0; while (x){ a[pos++]=x%10; x/=10; } return dfs(pos,0,1); } int main() { ll a,b; memset(dp,-1,sizeof(dp)); while (scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){ printf("%lld ",get(b)-get(a-1)); } return 0; }
还有好多好多各种状态的数位DP题，果然太弱切不动。。