题目
题目大意
在([-a, a] × [-b, b])区域内随机取一个点(P), 求以((0, 0))和(P)为对角线的长方形面积大于(S)的概率((a, b > 0), (S ≥ 0))。例如(a = 10), (b = 5), (S = 20), 答案为(23.35\%)。
题解
根据对称性, 只需要考虑([0, a] × [0, b])区域取点即可。设点的横纵坐标为(x), (y), 面积大于(S), 即(xy > S)。(xy = S)是一条双曲线, 所求概率就是([0, a] × [0, b])中处于双曲线上面的部分。为了方便, 求双曲线下面的面积, 然后用总面积来减。
设双曲线和区域([0, a] × [0, b])左边交点的坐标为((frac{S}{b}, b)), 因此积分就是:
[S + Sint_{frac{S}{b}}^{a}frac{1}{x}dx
]
根据高中所学数学知识, 得到(frac{1}{x})的原函数是(ln x), 因此积分部分就是(ln a - ln frac{S}{b} = ln frac{ab}{S})。设面积为(m), 则答案为(m - S - frac{S ln frac{m}{S}}{m})。
得到以上答案的前提是双曲线与所求区域相交, 如果(S > ab), 则概率应为(0); 而如果(S)太接近(0), 概率应直接返回(1), 否则计算会出错。
代码
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
int main(int argc, char const *argv[]) {
register int cases;
register double a, b, s;
scanf("%d", &cases);
while (cases--) {
scanf("%lf %lf %lf", &a, &b, &s);
register double r = std::min(s / b, a);
register double ans = r * b + log(a) * s;
if (fabs(s) > 1e-9) ans = ans - log(r) * s;
register double p = 1 - ans / (a * b);
printf("%.6lf%%
", fabs(p * 100));
}
return 0;
}