$Loj10157$ 皇宫看守 树形$DP$

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Description

有一些宫殿,它们呈树形结构,相邻的宫殿之间可以互相望见.在一些宫殿设立士兵,使得所有的宫殿都有士兵或是被士兵望见.求最小士兵数.

Sol

状态：

f[x][0] 表示结点i被父结点覆盖,以i为根的树需要的最小士兵数

f[x][1] 表示结点i被自己覆盖,以i为根的树需要的最小士兵数

f[x][2] 表示结点i被子结点覆盖,以i为根的树需要的最小士兵数

转移：(y是x的子结点)

f[x][0]=Σmin(f[y][1],f[y][2])

f[x][1]=Σmin(f[y][1],f[y][2],f[y][3])

f[x][2]=Σmin(f[y][1],f[y][2])+d,d=min(f[y][1]-min(f[y][1],f[y][2]))

就f[x][2]的转移稍微难想一点点,可以这样理解:

先算f[x][2]=Σmin(f[y][1],f[y][2]),但是这样并不能保证一定在某个y上设立了士兵

如果要保证这一点,那么就可能产生附加的代价,就是f[y][1]-min(f[y][1],f[y][2]),加上最小代价即可

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define Rg register
#define il inline
#define inf 2100000000
#define go(i,a,b) for(Rg int i=a;i<=b;++i)
using namespace std;
il int read()
{
    int x=0,y=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')y=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';c=getchar();}
    return x*y;
}
const int N=1501;
int n,rt,f[N][3],a[N];
vector<int> c[N];
bool d[N];
il void dp(int x)
{
    f[x][1]=a[x];
    int hhh=c[x].size()-1,t=inf;
    if(hhh<0)return;
    f[x][2]=0;
    go(i,0,hhh)
    {
        int y=c[x][i];dp(y);
        f[x][0]+=min(f[y][1],f[y][2]);
        f[x][1]+=min(f[y][0],min(f[y][1],f[y][2]));
        t=min(t,f[y][1]-min(f[y][1],f[y][2]));
    }
    f[x][2]=f[x][0]+t;
}
int main()
{
    n=read();
    go(i,1,n)
    {
        int t=read(),m,x;
        a[t]=read();m=read();
        while(m--){x=read();c[t].push_back(x);d[x]=1;}
    }
    go(i,1,n)f[i][2]=inf;
    go(i,1,n)if(!d[i]){rt=i;break;}
    dp(rt);
    printf("%d
",min(f[rt][1],f[rt][2]));
    return 0;
}