1.赋范线性空间和内积空间
在线性代数的初级教材里，一般是在向量空间中定义内积，然后再由内积来导出范数，比如在n维实向量空间中：
|x||=√<x,x>
在线性代数的高级教材中，一般是将内积和范数单独来定义的，而这之间可能并没有直接的关系。在向量空间中引入范数，可以得到一个赋范线性空间(normed linear space)，在向量空间中引入内积，可以得到一个内积空间(inner product space).定义如下：
内积空间的性质
cauchy-schwarz不等式
由内积导出的范数所生产的赋范线性空间
给定一个内积空间，可以定义一个范数:||x||=<x,x>½ 一般把这个范数叫做由内积导出的范数。可以发现，如果给内积空间加入一个由内积导出的范数，那么这个内积空间就是一个赋范线性空间。这个赋范线性空间有以下特殊的性质，这些性质是普通的赋范线性空间所不具有的：
几种常见的范数
范数的解析性质
上面已经看到了，在向量空间V中，存在多个实值函数满足范数公理，也就是说存在多个范数，一个很自然的问题就是，这些范数之间具有什么样的关系，有如下两个重要定理：范数等价性和完备性。
有限维赋范线性空间中的范数是等价的：
有限维赋范线性空间是完备的：
