本文作者frankchenfu，blogs网址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/，转载请保留此文字。
今天，我给大家带来的是“最长公共子序列”（LCS）的讲解。限于水平，这里仅介绍O(nm)算法。
最长公共子序列其实是很好理解的。
顾名思义，给出多个（这里暂且只考虑两个）序列，求他们的最长公共子序列，就是在这两个序列中分别删去一些的字符，得到两个相同的序列，使得这两个相同的序列最长。
当然上面是我自己用比较好理解的方法写的，关于某些“百科”上的解释就是“一个序列S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的 ”。
这里要先牵扯到一个“子序列”的问题。子序列就是一个序列中，删去一些字符后剩下部分。例如，“abc”就是“axbyc”的一个子序列，他相应的子序列在原序列的下标就是“1,3,5”。
再比如，
令字串A为“abcdef”，字串B为“defghi”，那么他们的最长公共子序列是什么呢？
显然，是“def”。因为子串“d”、“e”和“f”长度均为1，子串“de”、“ef”和“df”均为2，只有“def”长度为3。
所以，现在，我们给出两个序列，求他们的最长公共子序列。
【输入格式】
共两行。每行给出一个长度不超过200的字符串。
【输出格式】
共两行。第一行一个非负整数表示最长公共子序列的长度。第二行输出这个子序列（若有多解，任意输出一个）。
【输入样例】
ABCBDAB
BDCABA
【输出样例】
4
BCBA
【分析】
看到题目，肯定有人会想到搜索。可是搜索并不能解决一切问题。我们看到搜索是指数级的时间复杂度——你给10秒能不能算完是问题！我们需要设计一个略微高效的算法——尝试使用动态规划。但是在此之前，我们先来看一些有效分析，来验证我们的猜想是否正确。
（1）最优子结构性质。
这个性质有一个定理，叫LCS的最优子结构性质。
这个定理告诉我们，两个序列的最长公共子序列包含这两个序列的前缀最长公共子序列，所以这个问题是符合最优子结构性质的。
（2）子问题重叠性质
由最优子结构性质可以推导出该问题具备子问题重叠性质。我们可以依此建立一个计算到目前为止，子序列“最优值”的问题的递归关系。用c[i][j]记录序列X[i]和Y[i]的最长公共子序列的长度，其中当$i=0$或$j=0$时，$c_{i,j}=0$。否则，当$X_i=Y_i$时，$c_{i,j}=c_{i-1,j-1}+1$，当$X_i$≠$Y_i$时，$c_{i,j}=max(c_{i,j-1},c_{i-1,j})$.
这些方法得出的时间复杂度已经满足200的数据了，不过可以再优化，将体现在代码中，大家可以自行思考。Cpp代码如下：
#include<cstdio> #include<cstring> #include<string> using namespace std; inline int max(int a,int b) { return a>b?a:b; } const int MAX=201; int c[MAX][MAX]; int n,i,j,l1,l2; char x[MAX],y[MAX]; string z=""; int main() { scanf("%s%s",x,y); l1=strlen(x);l2=strlen(y); for(i=1;i<=l1;i++) for(j=1;j<=l2;j++) if(x[i-1]==y[j-1]) c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; else c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i][j-1]); printf("%d ",c[l1][l2]); //求LCS长度已完成，若无需求内容，可忽略以下。 for(i=l1,j=l2;i&&j;) if(x[i-1]==y[j-1]) { z=x[--i]+z; j--; } else if(c[i-1][j]>c[i][j-1]) i--; else j--; printf("%s",z.c_str());//返回C风格可用%s的字符串 return 0; }
希望对大家有所帮助，谢谢！