XDU 1098 (欧拉函数模板题)

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欧拉函数：φ(N)表示对一个正整数N，欧拉函数是小于N且与N互质的数的个数 
通式：φ(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn) 
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。 
注意：将n分解为最简质因数，每种质因数只用一次。 
比如 12 = 2*2*3，那么 φ(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3) = 4（1，5，7，11） 
若 n = p^k ( p为 质数 )，则 φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)p^(k-1) 
特例，若n = p（k=1， p 为质数），则 φ(n) = p-p^(1-1) = p-1。 
因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质

一些欧拉函数的性质： 
① N是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身） 
② 除了N=2,φ(N)都是偶数. 
③ 小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2。 
④ 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(m*n)=φ(m)*φ(n)。 
⑤ 当N为奇数时，φ(2*N)=φ(N) 
⑥若N=p^k，φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟N互质。 
⑦ 当N是质数时，φ(N) = N-1 
相关性质证明参考：http://blog.csdn.net/yxuanwkeith/article/details/52387873 
PPT讲解：http://max.book118.com/html/2016/1025/60637698.shtm 
由于一个数n的质因数一定小于等于sqrt(n)，所以时间复杂度O(sqrt(n))

#include<cstdio>
/*素数筛 
phi[maxn]打表 
int p[maxn];
void phi()
{
    for(int i=1;i<maxn;i++) p[i]=i;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(p[i]==i){
            for(int j=i;j<maxn;j+=i)
                p[j]-=p[j]/i;
        }
    }
}
*/
int phi(int x)
{
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0)
            ans-=ans/i;
        while(x%i==0)   x/=i;
    }//每种质因数只用一次
    if(x>1) 
        ans-=ans/x;
    return ans;
}
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        printf("%d
",phi(n));
}