类欧几里得算法

类欧几里得

(e.g.) 求(sumlimits_{x=1}^nA^xB^{lfloorfrac{ax+b}{c} floor})

• 把柿子转化成一个操作序列，对于一条直线（左上到右下），碰到一条(y=n) 的横线进行一次操作U，碰到一条(x=n)的竖线进行一次操作(R)，碰到整点进行一次操作(UR)。两个操作序列合并就是把前一个的贡献加到后一个序列的答案里（有点像cdq分治？），需要信息支持快速合并。

• 还是看例子：

  • 初始化：(curA=I,curB=I,sum=0)

  • 两个操作是 (U:curB*=B R:curA*=A,sum+=curA*curB)

  • 合并两个序列(x,y)（(x)前(y)后），相当于序列(y)的初始化变成了 (curA=x.curA,curB=x.curB)

    那么(ans.curA=x.curA*y.curA, ans.curB=x.curB*y.curB, ans.sum=x.sum+x.curA*y.sum*x.curB)

具体过程

设函数(solve(n,a,b,c,A,B))

表示值域为(n)，直线为(y=lfloor frac{ax+b}{c} floor)横坐标+1填一个(B)操作序列，纵坐标+1填一个(A)操作序列。(A,B)从1开始标号。

可以得到：共有(n)个(B)，第(i)个(B)前面共有(lfloor frac{ai+b}{c} floor)个(A)。

每次进行以下操作

1. (a->a\%c,b->b\%c)

   • (e.g.) (solve(3,5,1,3,A,B)->solve(3,2,1,3,A',B'))

     ​ (AABABAAB->ABBAB)

   • (a\%=c)带来的变化：(B'=A^{aover c}B)

   • (b\%=c)无影响：

     • (i>1)时，考虑第(i)个(B)和第(i-1)个(B)，他们两个之间的(A)有(lfloorfrac{ai+b}{c} floor-lfloorfrac{a(i-1)+b}{c} floor=lfloor{aover c} floor)个，所以(b\%=c)无影响
     • 如果(i=1)，(B)前面就有(lfloorfrac{a+b}{c} floor)个(A)，看起来(b%=c)是有影响的，但是因为操作过程中的处理，也可以把他变成无影响（具体见下）

2. 考虑递归下去，((A,B)->(B,A))

   • 推导：考虑第(x)个(A)和其之后第一个(B)，假设是序列中的第(y)个(B)（推的时候因为x，y为整数，所以一些向上向下取整是可以直接加或者直接去的）

     第(i)个(B)之前共有(lfloorfrac{ai+b}{c} floor)个(A)

     [xle lfloorfrac{ay+b}{c} floor ]
     [xle frac{ay+b}{c} ]
     [frac{cx-b}{a}le y ]
     [lceilfrac{cx-b}{a} ceille y ]
     [lfloorfrac{cx-b+a-1}{a} floorle y ]
     [lfloorfrac{cx-b-1}{a} floor< y ]

     所以第(i)个(A)之前共有(lfloorfrac{ci-b-1}{a} floor)个(B)

   • 当(i=0)时，(lfloorfrac{ci-b-1}{a} floor<0)，所以要特殊考虑第一个(A)，具体做法是(lfloorfrac{ci-b-1}{a} floor->lfloorfrac{c(i+1)-b-1}{a} floor)，(A)从0开始标号，然后再把第1个(A)（即现在的第0个(A)）和它之前的(B)提出来

   • 最后一个(A)之后的(B)也要特殊考虑

   • 令(m=lfloor frac{a*n+b}{c} floor,cnt=n-lfloorfrac{c*m-b-1}{a} floor) （(A)的数量，最后一个(A)之后的(B)的数量），

     则(solve(n,a,b,c,A,B)-> B^{lfloorfrac{c-b-1}{a} floor}+A+solve(m-1,c,c-b-1,a,B,A)+B^{cnt})

3. 第一次进入递归的时候要先把((a*0+b)/c)个(A)的影响提出来，而后面因为每次都提出了第一个(A)及其之前的(B)，所以相当于把每次((a*0+b)/c)的影响提出来了，所以递归的时候可以直接(b\%=c)