求最小环 —— 并查集 与 Floyd

对于一个图，如何求出其中的最小环（不包括一元环）？

很显然，对于一个无向图，每一条边都是一个二元环；对于有向图，可以考虑从每一个点出发，用DFS求出它到自己的距离，如果遍历了$N$个点仍未便利到自己，则该点不在环中。但是这样做的复杂度非常感人……如果没有分析错的话最坏应该是$O(n^2 m)$

可以考虑有一些优化， 对于一个点，如果它在一个环中，那么它在该环上dfs过的点一定在环中。在回溯一个点的过程中，如果搜到环，那么在搜下一个点的时候就不清空他们的标记数组。对于搜不到环的点，它的入度一定为一，如果不为一，那么删除它入边所连的入度为零的点后入度为零。所以可以预处理，删除入度为零的点和它所连的边（如果后面还有用就标记），然后再按照上述方式dfs，时间复杂度为$O(nm)$

但是对于稠密图，复杂度还是太高，甚至高过$O(n^3)$，这听起来是不是有些耳熟？ 没错，Floyd。

用 $k$ 作为当前搜索点，不断求出其它点的最短路径和路经所在环长，即

　　 $dis[i][j] = std::max(dis[i][j], dis[i][k], dis[j][k]), ans = std::max(ans, dis[i][j]+G[k][i]+G[j][k]); // G[][] 为邻接矩阵$

时间复杂度为 $O(N^3)$

当然，在$N>1000$的稠密图中，这种方法的复杂度依然很感人。

由于连边的关系也可以看作是树中“父与子”的关系，则可以使用并查集，通过路径压缩求出在某一图中的环，若存在两个连边的点在同一并查集中，那么一定有环，环的权值为两点到祖先的权值和加1。

为什么这样是对的呢？ 在一个路径已经被压缩的树中，任意两节点在图中一定相连，当某一点的父节点成为该点的子节点时，该点一定在环上。只要没有重边，那么该方法一定适用。

Floyd 代码：

int G[N][N], dis[N][N];
int main(){
    for(int k = 1; k <= n; k++){
    for(int i=1;i<=k-1;i++)    
         for(int j=i+1;j<=k-1;j++)
              ans = std::max(ans, dis[i][j]+G[k][i]+G[k][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
          dis[i][j] = std::max(dis[i][j], G[i][k]+G[k][j]);                   
    }
   //...                             
    return 0;
}

并查集代码

int find(int x){ 
    if(f[x] != x){
        int o = f[x];
        f[x] = find(f[x]);
        d[x] += d[o];
    }
    return f[x];
}
int main(){
  scanf("%d", &n);
  for(int i=1;i<=n;i++) f[i] = i;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d", &x);
    int a = find(i), b = find(x);
    if(a != b) { f[a] = b; d[i] = d[x]+1; }
    else  min = std::min(min, d[x] + d[i] + 1);
  }
  printf("%d
" ,min);
  return 0;
}

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