题：（1）5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的次数为4的不同字符串个数
（2）一般地，n个0，m个1组成的字符串中，出现01或10的次数为k的不同字符串个数
例如，10100011是一个满足要求的字符串（这里10和01是可以重用的，例如，010算是出现1次01，出现1次10）
（这是刚刚考过的组合数学期末试题，表示没能当场做出，选错方法了- -我用了递推法，写出了递归式但是不会解，因为有n、m、k三个参数——这也许不是正确的方法）
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符号说明：
1）N01和N10分别表示字符串中01的个数和10的个数
2）N=N01+N10，表示字符串中01和10的总出现次数
3）C(n,m)表示n个不同元素中取m个元素的组合数
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（1）注意到：我们可以把字符串中连续的0用1个0替换而不改变N01和N10的个数（N01和N10分别表示字符串中01的个数和10的个数），同理也可以把字符串中连续的1用1个1替换，为叙述方便，称得到的为原字符串的“模式”
比如，10100011的模式是10101
下面考虑有几种可能的模式呢？
思路：我们考虑0的可能位置（考虑1也可以），如果0在左端，则对N01的贡献为1；若在右端，则对N10的贡献为1；若在中间（非端点），则对N10和N01的贡献各为1，总贡献为2
01或10出现次数为4，那么0在模式中出现的情况有以下几种可能：
（1）中间没有0——这不可能，因为即使两端都出现0，01或10出现总次数也只有2
（2）中间有1个0——这1个0对N的贡献为2，那么两端必然都必须为0，这样才会有N=4。模式为01010
（3）中间有2个0——这2个0对N的贡献为4，两端必然都必须为1，模式为10101
（4）中间有超过2个0——这不可能
总结起来只有两种可能的模式：01010和10101
(还可以从模式的角度找规律，其实长为n的模式只有两种，分别是以0开头的01交替序列和以1开头的01交替序列，而且这两个模式对应的N是相同的，即包含01和10的总数是相同的。因此n和N之间构成了一一对应。n为偶数时，模式为0101…01或1010…10，对应N=n-1；n为奇数时，模式为0101…010或1010…101，对应N=n-1.所以总是有N=n-1，所以你告诉我N=4，那么对应的一定是长为5的两个模式，这种方法似乎更简单)
找到模式之后，怎么计算对应的字符串有多少个呢?
对模式01010，设“01010”的第1个0在原字符串代表x1个0，第2个0代表x2个0，第3个0代表x3个0，则有x1+x2+x3=5，不同的x1，x2，x3的取值对应的字符串是不同的，同样每个符合模式01010的字符串也都对应了这样一组正整数（x1，x2，x3），这是一一对应。求出这个不定方程的正整数解的个数就可以了，即为在5个相同的球之间插入2个隔板的方法数，是C(4,2)。同样设“01010”的第1个1和第2个1在原字符串中分别代表y1个1和y2个1，有y1+y2=4，正整数解个数为C(3,1)
因此，由乘法原则，这种模式对应的字符串有C(4,2)* C(3,1)=18个
类似可以求出10101对应的字符串有C(4,1)* C(3,2)=12个
所以，有30个满足要求的字符串。
（2）一般情况，方法是一样的
n个0，m个1，出现01或10的次数为k
k为偶数时，可能的模式有两个：
一个是1010…01，其中有k/2个0， k/2+1个1.对应的不定方程为：
X1+ X2+ …+Xk/2=n
y1+ y2+ …+yk/2+1=m
解的个数是C(n-1,k/2-1)*C(m-1,k/2)
另一个是010…010，其中有k/2+1个0， k/2个1.对应的不定方程为：
X1+ X2+ …+Xk/2+1=n
y1+ y2+ …+yk/2=m
解的个数是C(n-1,k/2)*C(m-1,k/2-1)
总的符合要求的字符串数为C(n-1,k/2-1)*C(m-1,k/2)+ C(n-1,k/2)*C(m-1,k/2-1)
k为奇数时，可能的模式也有两个：
一个是010…01，其中有(k+1)/2个0， (k+1)/2个1.对应的不定方程为：
X1+ X2+ …+X(k+1)/2=n
y1+ y2+ …+y(k+1)/2=m
解的个数是C(n-1,(k-1)/2)*C(m-1, (k-1)/2)
另一个是10…010，其中同样是有(k+1)/2个0， (k+1)/2个1.对应的不定方程及解的个数和上一个一样，也是C(n-1,(k-1)/2)*C(m-1, (k-1)/2)个解。
总的符合要求的字符串数为2*C(n-1,(k-1)/2)*C(m-1, (k-1)/2)
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ps:1楼给出了另一种思路，往下看