C/C++判定是否为平方数以及由此引出的IEEE754（3）

本篇讨论判定一个long long类型的整数是否为完全平方数。

long long类型的判定比较困难，因为

（1）long long转换为double会损失精度，其实这个似乎不是大问题，因为转换成long double似乎就不会损失精度了（C语言没有明确规定long double的格式，在大多数实现中是IEEE754 extended format，80 bits，有64位有效数字）

（2）对于较大的k，long double能否区分k^2和k^2+1的平方根，这决定着我们能否通过“判定一个数的平方根是否为整数”来判定这个数是不是完全平方数。

long long i = 3037000499ll;//sqrt(2^63 - 1) = i + 0.9XX
    if(sqrt((long double)i * (long double)i + (long double)1.0) == (long double)i)
        printf("error\n");

上面的代码测试了使得i^2在long long 范围内的最大的i，结果会打印“error”，说明对于long long 范围内比较大的i，long double版的sqrt也不能区分i^2和i^2+1

因此像上一篇中judge()和judge3()都不能用，下面看看修改过的judge2()

bool judge2(long long m)//pass test
{
    long long t = sqrt((long double)m); 
    if(t * t == m){
        return true;
    }
    return false;
}

对于一个long long类型的m，首先转换为long double，这一步不会损失精度，然后sqrt返回一个long double

（1）如果m是完全平方数，则该返回值是精确的，将这个long double赋给long long，同样不会损失精度，因此下面的t * t == m一定成立，返回true

（2）如果m不是完全平方数，不管t是什么，t * t == m一定不成立，返回false

因此这个函数是正确的

测试起来也比较容易，因为只需要测试所有的平方数，看看是否都返回true（其实这里是测（1）的正确性，因为对于（1）不太确信。对于非平方数，就不必测了，因为我们非常确信（2）是成立的）

    for (long long i = 1; i <= 3037000499ll; i++) {
        if (!judge2(i * i)) {
            printf("error:%ld\n", i);
            break;
        }
    }

结果是不会打印error

因此测试也表明这个判定函数是正确的