【CF792E】Colored Balls(数论分块)

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大意

有(N)种颜色的球，第(i)种球有(Ai)个，要求把球分成几个集合，使得：

1. 一个集合里的球只能有一种颜色。
2. 任意两个集合的球的数量相差不能超过1。

求这些球至少需要分几个集合。

思路

我们设这些集合的大小为(Ans)与(Ans+1)，考虑如何判断一个(Ans)是否可行。
由于一个集合里只能有一种颜色，所以我们可以对于每一种颜色都单独考虑。

设当前颜色为(i)，我们设 (Ai=Xcdot Ans+ Y)，其中(Ans,Y)满足(Ans>Y)。
那么易发现，若(Y>X)，则剩下的(Y)个数就算平均分到(X)个集合里，也会剩下((Y-X))个数，那么我们的(Ans)就不符合条件了。

又由于在(Ai=Xcdot Ans+ Y)式子中的(X=left lfloor Ai/Ans ight floor,Y=Ai\%Ans)
化简一下，一个(Ans)可行的条件为：对于任意(i)，都满足(left lfloor Ai/Ans ight floorge Ai\%Ans)

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尽管已经知道了如何判断一个(Ans)是否可行，但如果我们暴力去枚举(Ans)，复杂度也是(O(N imes A))，考虑优化。

首先有一个很明显的性质就是(Ansle Min(Ai))，即(Ans)至多是(A)中的最小值。

对于(Ans)的判断式：(left lfloor Ai/Ans ight floorge Ai\%Ans)。
发现在(Anslesqrt{Ai})时，肯定是恒满足的，因为
(left lfloor Ai/Ans ight floorge sqrt{Ai}ge Ansge Ai\%Ans)
所以所有满足(Anslesqrt{Ai})的(Ans)肯定都是可行的(Ans)。

考虑(Ans>sqrt{Ai})的情况：
在这种情况下，我们的判断式就会满足(left lfloor Ai/Ans ight floor<sqrt{Ai}<Ans)，
所以我们不妨枚举(left lfloor Ai/Ans ight floor)即(X)的取值，这样的复杂度是(O(Ncdotsqrt{A}))，可以接受。
然后又由于要让(Ans)可行，所以我们要让(left lfloor Ai/Ans ight floorge Ai\%Ans)，即(Ans>Xge Y).
考虑满足上述条件下的(Ans)的取值为多少：

• 由于(Ai=Xcdot Ans+ Y)，(Ans=left lfloor frac{Ai-Y}{X} ight floor)，在这种情况下，我们只知道(X)和(Ai)，所以考虑(Y)的取值情况。
  由于(0le Yle X)，则有(frac{Ai-X}{X}le frac{Ai-Y}{X}le frac{Ai}{X})，(left lfloor frac{Ai-X}{X} ight floorle left lfloor frac{Ai-Y}{X} ight floorle left lfloor frac{Ai}{X} ight floor)，
  即(left lfloor frac{Ai}{X}-1 ight floorle Ansle left lfloor frac{Ai}{X} ight floor)，(left lfloor frac{Ai}{X} ight floor-1le Ansle left lfloor frac{Ai}{X} ight floor)
  故(Ans=left lfloor frac{Ai}{X} ight floor-1)或(left lfloor frac{Ai}{X} ight floor)，
• 另：当(Ans=left lfloor frac{Ai}{X} ight floor-1)时，(Ai=Xcdot Ans+Y=Xcdotleft lfloor frac{Ai}{X} ight floor+Y-X)，
  又由于(Y-Xle 0，Xcdotleft lfloor frac{Ai}{X} ight floorle Ai)，所以(Ans=left lfloor frac{Ai}{X} ight floor-1)时，只在(Ai\%X=0)时成立。
  （注：也可以这样理解：(Ai=Xcdot Ans=Xcdot(Ans-1)+X)）

综上，(Ans=left lfloor frac{Ai}{X} ight floor)，特殊的，当(Ai\%X=0)时，(Ans)还有可能为((left lfloor frac{Ai}{X} ight floor-1))。

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在求出(Ans)(集合大小中较小值)后，统计答案时就优先放(Ans+1)，再放(Ans)这样的考虑就行了。

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int MAXN=505;
int N,A[MAXN];
int St,Mi=1e9,Ans;
int Check(int ans){
	for(int i=1;i<=N;i++)
		if(A[i]/ans<A[i]%ans)
			return 0;
	return 1;
}
long long Get(){
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		int m=(Ans+1-A[i]%(Ans+1))%(Ans+1);//还剩m个空位需要Ans来补.
		ans+=m+(A[i]-m*Ans)/(Ans+1);
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&N);
	for(int i=1;i<=N;i++)
		scanf("%d",&A[i]),Mi=min(Mi,A[i]);
	St=sqrt(Mi)+1;Ans=St-1;
	for(int i=1;i<=St;i++){
		if(Check(Mi/i)){
			Ans=max(Ans,Mi/i);
			break;
		}
		if(Mi%i==0)
			if(Check(Mi/i-1)){
				Ans=max(Ans,Mi/i-1);
				break;
			}
	}
	printf("%lld
",Get());
}
/*
A<=(A/K)*(K+1)
ceil(A/val)-1<=K
*/