扩展欧几里德通常用于求出二元一次方程的解，类似a*x+b*y=c(a,b均不为0)的方程，a,b,c都是整数，x、y的整数解。
1 判断是否有解
整数二元一次不定方程有解的充分必要是gcd(a,b)|c。如果不能整除则无解。
2 扩展欧几里德求特解
欧几里德给出了计算a*x+b*y=gcd(a,b)的解法。
之前写的太复杂自己都快看不懂了，删了重写一遍，看了一下知乎里的证明，链接https://www.zhihu.com/question/30067108，感觉很简洁，斗胆拿来用一下。
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得
a*x+b*y = gcd(a , b); ①
根据欧几里德原理
gcd(a , b) = gcd(b , a mod b)
将gcd(b,a mod b)表达为①式的形式，即
a*x+b*y = gcd(a , b)
= gcd(b , a mod b)
= b * x1 + (a mod b) * y1
= b * x1 + (a - a / b * b) * y1 即
a*x+b*y = b * x1 + (a - a / b * b) * y1
化简上式，得
a*x+b*y = a*y1 - b*a/b*y1 + b*x1 ， 即
a * x + b * y
= a * y1 + b * (x1-a/b*y1)
所以
x=y1
y=x1 - a/b*y1
于是我们得到了这样一段代码
1 void exgcd(int a, int b, int &d, int &x ,int &y) 2 { 3 if ( !b ) 4 { 5 d = a; 6 x = 1; 7 y = 0; 8 return; 9 } 10 int x1,y1; 11 exgcd( b , a % b , d , x1 , y1 ); 12 x = y1; 13 y = x1 - ( a / b ) * y1; 14 return ; 15 }
再简化一下可以得到
1 //ax+by=gcd(a,b),d为最后求出的gcd(a,b) 2 void ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d){ 3 if(!b){ 4 d=a; 5 x=1; 6 y=0; 7 return; 8 } 9 ex_gcd(b,a%b,y,x,d); 10 y=y-a/b*x; 11 }
上面代码中，通过交换x,y的位置，原本y1的位置变成x，x1的位置变成y相当于执行了x=y1，y=x1，因为y = x1 - ( a / b ) * y1，所以还需要y-=a/b*x。