转自：Angel_Kitty
Sprague-Grundy定理（SG定理）：
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。对博弈不是很清楚的请参照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html进行进一步理解。
SG函数：
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。
【实例】取石子问题
有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？
SG[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 时，可以取走4- f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：
1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。
2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。
3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。
4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。
模板一（SG打表）：
1 //f[]：可以取走的石子个数 2 //sg[]:0~n的SG函数值 3 //hash[]:mex{} 4 int f[N];//可以取走的石子个数 5 int sg[N];//0~n的SG函数值 6 int Hash[N]; 7 8 void getSG(int n){ 9 memset(sg,0,sizeof(sg)); 10 for(int i = 1; i <= n; i++){ 11 memset(Hash,0,sizeof(Hash)); 12 for(int j = 1; f[j] <= i; j++) 13 Hash[sg[i-f[j]]] = 1; 14 for(int j = 0; j <= n; j++){ //求mes{}中未出现的最小的非负整数 15 if(Hash[j] == 0){ 16 sg[i] = j; 17 break; 18 } 19 } 20 } 21 }
模板二（dfs）：
1 //注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍 2 //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组 3 int s[N],sg[N],n; 4 bool vis[N]; 5 int dfs_SG(int x){ 6 if(sg[x] != -1) 7 return sg[x]; 8 memset(vis,0,sizeof(vis)); 9 for(int i = 0; i < n; ++i){ 10 if(x >= s[i]){ 11 dfs_SG(x-s[i]); 12 vis[sg[x-s[i]]] = 1; 13 } 14 } 15 for(int i = 0;; ++i){ 16 if(!vis[i]){ 17 e = i; 18 return sg[x] = i; 19 } 20 } 21 }
例题一：
HDU 1536 S-Nim
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1536
题目大意：两个人玩Nim游戏，但是对规则进行了改变，每次只能给定集合A={a1,a2....ak}内的石子个数，问先手是否会胜利。
解题思路：这就可以直接用我们上面的结论了，可以将各堆的SG值当成Nim里的堆来用，异或求出sum=sg(x1)^sg(x2)^.....sg(xn),sum如果不等于0，则先手必胜，反之，必败。这里我把sg函数写成了递推的形式，还有一点，vis[]一定要是bool型！！！否则memset()会超时，原来memset()对bool类型的速度int快那么多，今天才知道。。。
代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 const int N=1e4+5; 4 int sg[N];//存储各个点的SG值 5 bool vis[N];//vis一定要是bool型,否则memset会超时,vis[i]=true,表示在集合S内 6 int s[105]; 7 8 //sg函数 9 void sg_solve(int k){ 10 memset(sg,0,sizeof(sg)); 11 for(int i=0;i<N;i++){ 12 memset(vis,false,sizeof(vis)); 13 for(int j=1;j<=k;j++){ 14 //将能够一步到达的状态的SG值存入集合S 15 if(i-s[j]>=0) 16 vis[sg[i-s[j]]]=true; 17 } 18 for(int j=0;;j++){ 19 if(!vis[j]){ 20 sg[i]=j; 21 break; 22 } 23 } 24 } 25 } 26 27 int main(){ 28 int k; 29 while(~scanf("%d",&k)&&k){ 30 for(int i=1;i<=k;i++){ 31 scanf("%d",&s[i]); 32 } 33 sg_solve(k); 34 int n; 35 scanf("%d",&n); 36 while(n--){ 37 int m,sum=0; 38 scanf("%d",&m); 39 for(int i=1;i<=m;i++){ 40 int x; 41 scanf("%d",&x); 42 sum^=sg[x]; 43 } 44 if(sum) 45 printf("W"); 46 else 47 printf("L"); 48 } 49 printf(" "); 50 } 51 }
例题二
HDU 1848 Fibonacci again and again
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848
题目大意：一共有3堆石子，两人轮流操作，每次只能取斐波那契数个石子，先取完石子者胜利，问先手胜还是后手胜？
解题思路：SG函数模板
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 const int N=1e3+5; 4 int f[100]={0,1,2},sg[N]; 5 bool vis[N]; 6 7 void fib(){ 8 for(int i=3;i<=20;i++){ 9 f[i]=f[i-1]+f[i-2]; 10 } 11 } 12 13 void sg_get(void){ 14 memset(sg,0,sizeof(sg)); 15 for(int i=1;i<N;i++){ 16 memset(vis,false,sizeof(vis)); 17 for(int j=1;f[j]<=i;j++){ 18 vis[sg[i-f[j]]]=true; 19 } 20 for(int j=0;j<N;j++){ 21 if(!vis[j]){ 22 sg[i]=j; 23 break; 24 } 25 } 26 } 27 } 28 29 int main(){ 30 fib(); 31 sg_get(); 32 int m,n,p; 33 while(~scanf("%d%d%d",&m,&n,&p)&&(m||n||p)){ 34 int sum=0; 35 sum=sg[m]^sg[n]^sg[p]; 36 if(sum) 37 puts("Fibo"); 38 else 39 puts("Nacci"); 40 } 41 }