HDU 2829 Lawrence(四边形优化DP O（n^2）)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2829

题目大意：有一段铁路有n个站，每个站可以往其他站运送粮草，现在要炸掉m条路使得粮草补给最小，粮草补给的公式是将每个站能收到的粮草的总和。

4----5-----1-----2

粮草总和为4*5 + 4*1 + 4*2 + 5*1 + 5*2 + 1*2 = 49.

4----5       1-----2

粮草总和为4*5 + 1*2 = 22. 

4      5-----1------2

粮草总和为5*1 + 5*2 + 1*2 = 17.

解题思路：参考，状态转移方程为dp[i][j]=min{dp[k][j-1]+cost[k+1][i]}(k<i)，若cost[i][j]满足凸四边形不等式，则可以用四边形优化。

　　　　　这里我们有一个定理：cost为凸当且仅当 cost[i][j] + cost[i+1][j+1] <= cost[i+1][j] + cost[i][j+1]。

　　　　　我们可以把原式cost[i][j] + cost[i'][j'] <= cost[i][j'] + cost[i'][j]变为cost[i + 1][j + 1] - cost[i + 1][j] <= cost[i][j + 1] - cost[i][j]，然后固定j变化i，看coat[i][j+1] - cost[i][j]是关于i递增还是递减，如果是递减，则cost为凸。

　　　　　一般如果不能直接看出来，可以进行打表。此题cost[i][j]满足该定理，于是可以用四边形优化将复杂度降至O（n^2）。

　　　　　注意：这里的是s[i][j]处理跟石子归并时不一样，还有i是倒着来的，不是正着的。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e3+5;
const long long INF=0x3f3f3f3f;
LL sum[N],dp[N][N],cost[N][N],s[N][N];//s[i][j]记录dp[i][j]的最优切割点 

int main(){
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if(n==0&&m==0)
            break;
        memset(cost,0,sizeof(cost));
        memset(dp,INF,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&sum[i]);
            sum[i]+=sum[i-1];
            s[i][0]=0;
        }
        //计算cost[i][j]
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<i;j++){
                cost[1][i]+=(sum[j]-sum[j-1])*(sum[i]-sum[j]);
            }
            dp[i][0]=cost[1][i];
        }
        for(int k=1;k<=n;k++){
            for(int i=k+1;i<=n;i++){
                cost[k][i]=cost[1][i]-cost[1][k-1]-sum[k-1]*(sum[i]-sum[k-1]);
            }
        }
        
        //j为轰炸次数,当i = 1或者j = n时为边界对s的处理就是为了处理这些边界
        for(int j=1;j<=m;j++){
            s[n+1][j]=n-1;
            for(int i=n;i>=j;i--){
                for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++){
                    LL tmp=dp[k][j-1]+cost[k+1][i];            
                    if(tmp<dp[i][j]){
                        dp[i][j]=tmp;
                        s[i][j]=k;
                    }
                }
            }    
        }
        printf("%lld
",dp[n][m]);
    }
    return 0;
}