P3957 跳房子（二分答案+单调队列优化DP）

题目链接：https://www.luogu.org/contestnew/show/4468

题目大意：跳房子，也叫跳飞机，是一种世界性的儿童游戏，也是中国民间传统的体育游戏之一。

跳房子的游戏规则如下：

在地面上确定一个起点，然后在起点右侧画 n 个格子，这些格子都在同一条直线上。每个格子内有一个数字（ 整数），表示到达这个格子能得到的分数。玩家第一次从起点开始向右跳， 跳到起点右侧的一个格子内。第二次再从当前位置继续向右跳，依此类推。规则规定：

玩家每次都必须跳到当前位置右侧的一个格子内。玩家可以在任意时刻结束游戏，获得的分数为曾经到达过的格子中的数字之和。

现在小 R 研发了一款弹跳机器人来参加这个游戏。但是这个机器人有一个非常严重的缺陷，它每次向右弹跳的距离只能为固定的 d。小 R 希望改进他的机器人，如果他花 g 个金币改进他的机器人，那么他的机器人灵活性就能增加 g， 但是需要注意的是，每次弹跳的距离至少为 1。 具体而言， 当g < d时， 他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 d-g, d-g+1,d-g+2， …， d+g-2， d+g-1， d+g； 否则（ 当g ≥ d时），他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 1， 2， 3， …， d+g-2， d+g-1， d+g。

现在小 R 希望获得至少 k 分，请问他至少要花多少金币来改造他的机器人。

解题思路：显然是一道DP题，然后可以总结为以下几点：

　　　　　①g的枚举范围很大，可以用二分枚举。

　　　　　②dp[i]表示在第i个格子上的最大得分，score[i]表示第i个格子上的分值，dis[i]表示第i个格子离出发点的距离，可得到状态转移方程：dp[i]=max{dp[j]+score[i]}（j<i，max(d-g,1)<=dis[i]-dis[j]<=d+g）

　　　　　③按上述方法，复杂度依旧到达了n^2lg(M_g)，可以知道，dp[i]是跟距离成正比的，可以用单调队列优化，最后复杂度为O（nlg(M_g)）。

　　　　　④还犯了一个小错误，就是默认起点可以到达第一个格子了，Ｏ(≧口≦)Ｏ。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5e5+5;
const long long INF=4e18;

int n,d,k;
LL dis[N],score[N],dp[N],q[N];

bool judge(int i,int j,int g){
    if(dis[i]-dis[j]<=g+d&&dis[i]-dis[j]>=max(d-g,1))
        return true;
    return false;
}

bool check(int g){
    //错误：默认了0可以到达第一个点 
    int head=0,tail=0,cur=0,qmin=max(d-g,1),qmax=d+g;
    q[tail++]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(head+1<tail&&dis[i]-dis[q[head]]>qmax){
            head++;
        }
        if(judge(i,q[head],g))
            dp[i]=dp[q[head]]+score[i];
        else
            dp[i]=-INF;
        if(dp[i]>=k)
            return true;
        while(cur<=i&&dis[i+1]-dis[cur]>=qmin){
            //能到达q[tail-1]的肯定能到达cur点，且dp[cur]价值较大，所以q[tail-1]点可以舍去 
            while(head+1<=tail&&dp[q[tail-1]]<=dp[cur]){
                tail--;
            }
            q[tail++]=cur++;
        }
    }
    return false;
}

int main(){    
    scanf("%d%d%d",&n,&d,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%lld",&dis[i],&score[i]);
    }
    int l=0,r=1e9,cost=-1;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)){
            if(cost==-1||cost>mid)
                cost=mid;
            r=mid-1;
        }
        else
            l=mid+1;
    }
    printf("%d
",cost);
    return 0;
}