线性代数——矩阵一

1.矩阵的概念

由m×n个数a_ij排成的m行n列的数表称为矩阵，a_ij是第i行第j列的元素。

2.特殊矩阵

（1）零矩阵：所有元素a_ij均为零。

（2）对角矩阵：除对角线上的元素外，其余元素均为零的n阶矩阵。

（3）数量矩阵：主对角线上元素相同的n阶对角矩阵。

（4）单位矩阵：主对角线上的元素均为1的n阶对角矩阵。

（5）三角矩阵：主对角线以下元素均为零n阶对角矩阵称为上三角矩阵，主对角线以上元素均为零的n阶对角矩阵称为下三角矩阵。

3.矩阵的线性运算

（加法、减法、数乘）

矩阵A=(a_ij)_{m×n  ,矩阵B=(bij)m×n} ，
矩阵C=(aij ±bij）_m×n

矩阵D=k×A=k×(a_ij)_m×n

A和B必须为同型矩阵

4.性质

（1）交换律：A+B=B+A

（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)  ，（k×l）×A=k×（l×A）

（3）分配律：k×（A+B）=k×A+k×B   ，（k+l）×A=kA+kB

5.矩阵乘法

矩阵A和矩阵B相乘必须要满足矩阵A的列数要和矩阵B的行数要相等。

A=(a_ij)_m×n和B=(b_ij)_n×p相乘得到矩阵C_m×p。

（1）结合律：（A×B）C=A（B×C）

（2）分配律：A（B+C）=AB+AC

（3）幂运算（方阵）：（A^k）^l=A^kl    

6.矩阵的初等变换

（1）互换矩阵的两行或两列。

（2）用非零数乘以矩阵的某一行或某一列。

（3）用非零数乘以矩阵的某一行后加到另一行的对应元素上。

7.初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换后得到的矩阵。

初等矩阵与初等变换的关系：初等矩阵左乘矩阵A ，相当于对矩阵A做一次相应的初等行变换。初等矩阵右乘矩阵A ，相当于对矩阵A做一次相应的初等列变换。

8.伴随矩阵

设矩阵A_n×n，由行列式|A|的个元素a_ij的代数余子式A_i×j所构成的n阶矩阵，记为A*。

                                     

伴随矩阵的性质：

A A=A A*=|A|E

9.逆矩阵

设A 是n阶方阵，若存在方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，矩阵B是A的逆矩阵，记为A^-1。

方阵A可逆的充要条件：|A|不等于0，且A^-1=(1/|A| )A*

可逆矩阵的性质：

                                                             

10.矩阵的秩

在m×n的矩阵A中，任取k行k列，位于这些行列交叉处的k²个元素，按照原来的顺序组成一个k阶行列式，称为A的k阶子式，矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)。

矩阵秩的公式：