曲率计算公式推导

曲率半径公式推导

        曲率(k):描述曲线下降长度随角度变化，${ m{k}} = mathop {lim }limits_{alpha   o 0} left| {frac{{Delta alpha }}{{Delta s}}} ight|$

$R = frac{1}{k} = frac{{{{left[ {1 + {{left( {frac{{dy}}{{dx}}} ight)}^2}} ight]}^{frac{3}{2}}}}}{{frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}}} = frac{{{{left[ {1 + {{left( {f'} ight)}^2}} ight]}^{frac{3}{2}}}}}{{f''}}$   （1）

曲率半径计算公式

推导过程

1. 曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆的半径，在$mathop {lim }limits_{Delta { m{s}} o 0} frac{{Delta alpha }}{{Delta s}} = frac{{dalpha }}{{ds}}$存在的条件下，${ m{k}} = left| {frac{{dalpha }}{{ds}}} ight|$。
2. 设曲线的方程为y=f(x)，且f(x)具有二阶导数。因为tanα = y’(设-$pi $/2<α<$pi $/2)，所以

a=arctany’

$frac{{{ m{d}}alpha }}{{dx}} = {left( {{ m{arctany'}}} ight)^prime }$

[dalpha  = {left( {arctan y'} ight)^prime }dx = frac{{y''}}{{1 + {{y'}^2}}}dx]

或者

sec²αdα=y''dx，

${ m{d}}alpha  = frac{{y''}}{{se{c^2}alpha }}dx = frac{{y''}}{{1 + ta{n^2}alpha }}dx = frac{{y''}}{{1 + {y^{'2}}}}dx$

        3. 因为 ${ m{ds}} = sqrt {1 + {y^{'2}}} { m{dx}}$(密切圆面积求导)，从而得到曲率公式${ m{k}} = frac{{f''}}{{{{left[ {1 + {{left( {f'} ight)}^2}} ight]}^{frac{3}{2}}}}}$。

 

参考链接：https://jingyan.baidu.com/album/7f41ecec213a10593d095c26.html?picindex=4 

 

 

【 结束 】