三种基于矩的亚像素级边缘定位方法

 1、什么是边缘模型

 

图1.1

        连续二维边缘模型如图1.1所示，其中h₁为背景灰度值，h₂为目标灰度值，l为实际边缘点到原点的归一化距离，θ为边缘法线方向与x轴的夹角，q[-$pi $/2,$pi $/2]。

 

2、空间矩法（spatial-gray moment,SGM）

        二阶连续函数f_m(x,y)的p+q阶空间矩定义为

${M_{pq}} = int!!!int {x^p}{y^q}{f_m}left( {x,y} ight)dxdy$

        数字化图像的p+q阶空间矩定义为

${M_{pq}} = sum sum {x^p}{y^q}{f_m}left( {x,y} ight)$

        边缘模型参数计算公式：

[left{ egin{array}{l}
heta = arctan left( {{M_{01}}/{M_{10}}} ight)\
l = left( {4{{M'}_{20}} - {{M'}_{00}}} ight)/left( {3{{M'}_{10}}} ight)\
k = left( {3{{M'}_{10}}} ight)/left[ {2sqrt {{{left( {1 - {l^2}} ight)}^3}} } ight]\
h = left[ {2{{M'}_{00}} - kleft( {pi - 2arcsin l - 2lsqrt {1 - {l^2}} } ight)} ight]/2pi
end{array} ight.]

        式中，k为目标灰度和背景灰度的对比度，数值为h1与h2之差，各阶空间矩的数值由各自的矩模板与图像灰度值卷积得到。

 

3、Zernike正交矩法（Zernike orthogonal moment,ZOM）

        二阶连续函数f_m(x,y)的p+q阶的ZOM定义为

${Z_{pq}} = frac{{p + 1}}{pi }int!!!int fleft( {x,y} ight){V_{pq}}left( { ho , heta } ight)dxdy$

        边缘模型参数计算公式：

[left{ egin{array}{l}
heta = arctan left( {frac{{{ m{Im}}left( {{Z_{11}}} ight)}}{{{ m{Re}}left( {{Z_{11}}} ight)}}} ight)\
l = {Z_{20}}/{{Z'}_{11}}\
k = left( {3{{Z'}_{11}}} ight)/left[ {2sqrt {{{left( {1 - {l^2}} ight)}^3}} } ight]\
h = left[ {{{Z'}_{00}} - kleft( {pi /2 - arcsin l - lsqrt {1 - {l^2}} } ight)} ight]/pi
end{array} ight.]

4、正交傅里叶-马林矩法（orthogonal Fourier-Mellin moment,OFMM）

        二阶连续函数f_m(x,y)的p+q阶的OFMM定义为

${emptyset _{pq}} = frac{{p + 1}}{pi }mathop sum limits_{s = 0}^p {alpha _{ps}}mathop int!!!int limits_{ - infty }^{ + infty } fleft( {x,y} ight){left( {x + jy} ight)^{frac{{s - p}}{2}}}{(x - jy)^{frac{{s + p}}{2}}}dxdy$

        边缘模型参数计算公式：

[left{ egin{array}{l}
heta = arctan left[ { - frac{{{ m{Im}}left( {2({phi _{01}} + {phi _{11}})} ight)}}{{{ m{Re}}left( {2({phi _{01}} + {phi _{11}})} ight)}}} ight]\
l = frac{3}{5}left( {frac{{4{phi _{10}} + {phi _{20}}}}{{2{{phi '}_{01}} + {{phi '}_{11}}}}} ight)\
k = left( {2{{phi '}_{01}} + {{phi '}_{11}}} ight)/left[ {2sqrt {{{left( {1 - {l^2}} ight)}^3}} } ight]\
h = left[ {{{phi '}_{00}} - kleft( {arcsin sqrt {1 - {l^2}} - lsqrt {1 - {l^2}} } ight)} ight]/pi
end{array} ight.]

        由于OFMM和ZOM法所求的q和l相同，而最终亚像素级边缘定位结果仅仅与q和l有关，因此，OFMM和ZOM法的亚像素级边缘定位结果完全一致，另外三种方法获得的边缘角度q相同。

 

 

 

【 结束 】