八数码问题：bfs及dbfs版本详解

hdu1043多组数据

poj1077单组数据

1、对于空间的处理

按常规方法，标志位序列vis的大小需要876543210位，空间非常大，所以我们考虑将int转化为char 类型储存(32位机int占4字节 char 占1字节)。

又考虑，如果转化为九进制，876543210(9)-->381367044(10),进一步优化空间。

可是像111111111，333333333这样的房间，根本没有被用到，却仍然占用空间，我们考虑对空间进行进一步优化。

情况个数共为9！个-->362880将标志位序列优化至此。

将每一种情况%mod以达到哈希目的，通过邻接表实现。

2、判断解的存在

设f(x)(x!=0)代表x之前小于x的数的个数，g(x)代表f(x)之和,g(x)的奇偶性决定了问题是否有解

若两状态奇偶性不同，则无法相互转化。

a、单向广搜版本

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#define maxn 362882
#define ll long long
using namespace std;
int dx[4] = {-1,1,0,0};
int dy[4] = {0,0,-1,1};
char s[10] = {'u','d','l','r'};
int tcnt,hcnt;
const int mod = 23333;
int head[mod+5];
  
struct Table
{
    int pos,dir,pre;
    char a[10];
}tb[maxn];
 
struct Hash
{
    char a[10];
    int next;
}htb[maxn];
 
queue<int>q;
 
int build_table(int dir,int pos,int last)
{
    ++tcnt;
    tb[tcnt].pos =  pos;
    tb[tcnt].dir = dir;
    strcpy(tb[tcnt].a,tb[last].a);
    tb[tcnt].pre = last;
    return tcnt;
}
 
inline bool check(char *a)//判断是否达到目标状态
{
    for(int i = 0; i < 8; i ++)
        if(a[i] != '0' + i + 1) return false;
    return true;
}
 
inline bool valid(int x,int y)//判断出界
{
    return 0 <= x && x <= 2 && 0 <= y && y <= 2;
}
 
inline bool ok(int a,int b)//防止回到父亲位置
{
    if(a > b) swap(a,b);
    if(a == 0 && b == 1) return false;
    if(a == 2 && b == 3) return false;
    return true;
}
 
void output(int id)//递归输出答案
{
    if(!id) return;
    output(tb[id].pre);
    putchar(s[tb[id].dir]);
}
 
int change(char *a)//储存哈希值
{
    int ret(0);
    for(int i = 0; i < 8; i ++)
        ret =  (ret<<1) + (ret <<3) + a[i]-'0';
    return ret%mod;
}
 
bool available(int id)//判断解的存在性
{
    char *a = tb[id].a;
    int tot(0);
    for(int i = 1; i < 9; i ++){
        if(a[i] == '0')continue;
        for(int j = 0 ; j < i ; j ++)
            if(a[j] < a[i]&& a[j]!='0') tot ++;
    }
    return (tot%2)^1;
}
 
void hash_insert(char *a)//添加状态
{
    int hash = change(a);hcnt ++;
    strcpy(htb[hcnt].a,a);
    htb[hcnt].next = head[hash];
    head[hash] = hcnt;
}
 
bool issame(char *a,char *b)判断是否出现过，用于防止转圈之类的重复路径
{
    for(int i = 0 ; i < 9; i ++)
        if(a[i]!=b[i]) return false;
    return true;
}
 
bool query(char *a)//通过邻接表实现查询
{
    int hash = change(a);
    for(int i = head[hash]; i ; i = htb[i].next)
        if(issame(a,htb[i].a)) return true;
    return false;
}
 
 
bool bfs()
{
    int pos,x,y,las,k,xx,yy,tar,idd;
    hash_insert(tb[0].a);
    q.push(0);
    while(!q.empty())
    {
        int id = q.front();q.pop();
        Table *p = &tb[id];//指针写法
        if(check(p->a))//判断是否达到目标
        {
            output(id);
            return true;
        }
        pos = p -> pos;x = pos/3,y = pos%3;
        las = p -> dir;
        for(k = 0; k < 4; k ++)
        {
            xx = x + dx[k];
            yy = y + dy[k];
            tar = xx*3 + yy;
            if(!valid(xx,yy)|| !ok(las,k)) continue;//ok函数是防止走回父亲
             
            swap(p->a[pos],p->a[tar]);//改变0的位置
             
            if(query(p->a)){
                swap(p->a[pos],p->a[tar]);
                continue;
            }//该情况出现过
             
            idd = build_table(k,tar,id);
            hash_insert(p->a);//将新状态存入hash表中
            q.push(idd);
            swap(p->a[pos],p->a[tar]);
        }
    }
    return false;
}
 
int main()
{
    char str[3];tb[0].dir = 4;
    for(int i = 0; i < 9; i ++){
        scanf("%s",str);
        if(str[0] == 'x'){
            tb[0].pos = i;
            tb[0].a[i] = '0';
            continue;
        }
        tb[0].a[i] = str[0];
    }
    if( !available(0) || !bfs()) printf("unsolvable");
}

有很多地方可以压缩减小代码量，在下面的dbfs中操作

b、dbfs版本

dbfs需要修改的地方是query，当找到相同状态时我们返回当前位置序号，如果该序号在另一个队列中那么目标状态被找到，output答案

现在解释output部分

从初始状态走向目标状态时，当我们找到交点，需要递归回去从起点输出路径；从目标状态走向起始状态时，当交点出现，直接按顺序输出路径即可。

同样的，交点的走向在两种不同情况时是相反的。

(和bfs一样的部分我就不解释了)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#define maxn 362882
#define ll long long
using namespace std;
int dx[4] = {-1,1,0,0};
int dy[4] = {0,0,-1,1};
char s1[10] = {'u','d','l','r'};
char s2[10] = {'d','u','r','l'};
int hcnt;
const int mod = 23333;
int head[mod+5];
int vis[2][maxn],inque[2][maxn];

struct Hash//将hash和table写在一起(其实原本就可以写在一起可是我不想改bfs的代码了...)
{
    char a[10];
    int pos,dir,pre;
    int next;
}htb[maxn];

queue<int>q[2];

inline bool valid(int x,int y)
{
    return 0 <= x && x <= 2 && 0 <= y && y <= 2;
}

inline bool ok(int a,int b)
{
    if(a > b) swap(a,b);
    if(a == 0 && b == 1) return false;
    if(a == 2 && b == 3) return false;
    return true;
}

void output1(int id)//q[0]递归反向输出答案
{
    if(id <= 1) return;
    output1(htb[id].pre);
    putchar(s1[htb[id].dir]);
}
void output2(int id)//q[1]正向输出
{
    if(id <= 2) return;
    putchar(s2[htb[id].dir]);
    output2(htb[id].pre);
}

int change(char *a)
{
    int ret(0);
    for(int i = 0; i < 8; i ++)
        ret =  (ret<<1) + (ret <<3) + a[i]-'0';
    return ret%mod;
}

bool available(int id)
{
    char *a = htb[id].a;
    int tot(0);
    for(int i = 1; i < 9; i ++){
        if(a[i] == '0')continue;
        for(int j = 0 ; j < i ; j ++)
            if(a[j] < a[i]&& a[j]!='0') tot ++;
    }
    return (tot%2)^1;
}

int hash_insert(int dir,int pos,int id)//因为一个hash值对应一个hcnt，所以将bfs中的table和hash 合起来写
{
    int hash = change(htb[id].a);hcnt ++;
    strcpy(htb[hcnt].a,htb[id].a);
    htb[hcnt].dir = dir;
    htb[hcnt].pos = pos;
    htb[hcnt].pre = id;
    htb[hcnt].next = head[hash];
    head[hash] = hcnt;
    return hcnt;
}

bool issame(char *a,char *b)
{
    for(int i = 0 ; i < 9; i ++)
        if(a[i]!=b[i]) return false;
    return true;
}

int query(char *a)//bfs中check与query的作用在dbfs中一致，所以用query代替check
{
    int hash = change(a);
    for(int i = head[hash]; i ; i = htb[i].next)
        if(issame(a,htb[i].a)) return i;//返回序号数
    return 0;
}

bool bfs()
{
    int pos,x,y,las,k,xx,yy,tar,idd;hcnt = 2;
    q[0].push(1);
    q[1].push(2);
    inque[0][1]=1;
    inque[1][2]=1;
    while(!q[0].empty()&&!q[1].empty())
    {
        int num=q[0].size()>q[1].size() ;
        int id = q[num].front();q[num].pop();
        Hash *p = &htb[id];
        pos = p -> pos;x = pos/3,y = pos%3;
        las = p -> dir;
        
        for(k = 0; k < 4; k ++)
        {
            xx = x + dx[k];
            yy = y + dy[k];
            tar = xx*3 + yy;
            if(!valid(xx,yy)|| !ok(las,k)) continue;
            
            swap(p->a[pos],p->a[tar]);
            int ba;
            if(ba=query(p->a))
            {
                if(vis[num^1][ba]||inque[num^1][ba])//判断状态是否在另一队中出现
                {
                    int flg=0;
                    if(num) 
                    {
                        swap(id,ba);
                        flg=1;//判断交点走向
                    }
                    output1(id);
                    if(!flg)putchar(s1[k]);
                    else putchar(s2[k]);
                    output2(ba);
                    return true;
                }
                swap(p->a[pos],p->a[tar]);
                continue;
            }
            idd = hash_insert(k,tar,id);
            inque[num][idd]=1;
            q[num].push(idd);
            swap(p->a[pos],p->a[tar]);
        }
        vis[num][id]=1;
        inque[num][id]=0;
    }
    int num=q[0].empty();
    while(!q[num].empty())
    {
        int id = q[num].front();q[num].pop();
        Hash *p = &htb[id];
        pos = p -> pos;x = pos/3,y = pos%3;
        las = p -> dir;
        for(k = 0; k < 4; k ++)
        {
            xx = x + dx[k];
            yy = y + dy[k];
            tar = xx*3 + yy;
            if(!valid(xx,yy)|| !ok(las,k)) continue;
            swap(p->a[pos],p->a[tar]);
            int ba;
            if(ba=query(p->a))
            {
                if(vis[num^1][ba]||inque[num^1][ba])
                {
                    int flg=0;
                    if(num) swap(id,ba),flg=1;
                    output1(id);
                    if(!flg)putchar(s1[k]);
                    else putchar(s2[k]);
                    output2(ba);
                    return true;
                }
                swap(p->a[pos],p->a[tar]);
                continue;
            }
            idd = hash_insert(k,tar,id);
            q[num].push(idd);
            inque[num][idd]=1;
            swap(p->a[pos],p->a[tar]);
        }
        vis[num][id]=1;
        inque[num][id]=0;
    }
    return false;
}
void init()
{
    for(int i = 1 ; i <= hcnt ; ++i)
    {
        vis[0][i]=vis[1][i]=0;
        inque[0][i]=inque[1][i]=0;
    }
    for(int i = 1 ; i <= mod+1 ; ++i)
        head[i]=0;
    while(!q[0].empty()) q[0].pop();
    while(!q[1].empty()) q[1].pop();
}
int main()
{
    char str[3];
    while(scanf("%s",str)!=EOF)
    {
        init();

　　　　htb[1].dir = 4;
　　　　htb[2].dir = 4；

　　　　　htb[1].a[0]=str[0]; 

　　　　if(str[0] == 'x'){

            htb[1].pos = 0;
            htb[1].a[0] = '0';
            }
        for(int i = 1; i < 9; i ++){
        scanf("%s",str);
        if(str[0] == 'x'){
            htb[1].pos = i;
            htb[1].a[i] = '0';
            continue;
        }
        htb[1].a[i] = str[0];
        }
        int hash = change(htb[1].a);
        head[hash] = 1;
        for(int i = 0 ; i < 8 ; ++i)
            htb[2].a[i]=i+1+'0';
        htb[2].a[8]='0';
        hash=change(htb[2].a);
        head[hash]=2;
        htb[2].pos=8;if( !available(1) || !bfs()) printf("unsolvable");
        printf("
");
    }
}

接下来比较dbfs与bfs的时间及空间

bfs 时间157ms 空间7836K

dbfs 时间 0ms 空间1352K

虽然程序的时间及空间会受评测机性能的影响，但是dbfs的优越性还是显而易见的。

此篇是针对上一篇dbfs入门的加深，接下来几天会更新八数码问题的idA*版本，以解决15数码问题。

(16！超过long long 范围 ，所以针对15数码，只能使用idA*算法，仍然用dbfs的话会牵扯高精度，反而增加代码的难度了)