浅谈同余方程的求解与中国剩余定理

浅谈同余方程的求解与中国剩余定理

本篇随笔简单讲解一下信息学奥林匹克竞赛中数论部分的内容——同余方程的求解。顺便讲一下中国剩余定理。

同余方程的概念

关于同余和同余式的基本概念，如果还是了解的不清楚的话，请翻看本蒟蒻的这篇博客，讲解的非常详细：

浅谈欧拉定理和乘法逆元

那么，同余方程就是同余式里加了一个需要我们求解的未知数。

比如，一种同余方程（就是我们首先要讲的一次同余方程）长成这个样子：

[axequiv b\,\,\,(mod\,\,p) ]

线性同余方程及其求解

未知数指数为1的同余方程叫做线性同余方程，它的通式可以被表示为：

[axequiv b\,\,\,(mod\,\,p) ]

我们可以用扩展GCD求解线性同余方程。

如果对于扩展GCD还不太明白的小伙伴，请移步本蒟蒻的这篇博客，讲解的也比较清晰：

浅谈扩展GCD

那么，我们知道扩展GCD可以被用来求解形如(ax+by=m(gcd(a,b)|m))这样的方程。我们只需要把这个同余方程式变成这样的普通等式即可。

因为(axequiv b\,\,\,(mod\,\,p))等价于(ax-b)可以被(p)整除，那么可以设(ax-b)是(p)的(-y)倍，那么就有：

[(ax-b) imes(-y)=p ]

经过移项变形，得到：

[ax+py=b ]

那么我们就可以通过扩展GCD来求一组特解(x,y)，其中的(x)就是我们需要的答案。

注意，根据裴蜀定理，这个同余方程有解的条件应该是(b)是(gcd(a,p))的倍数。

同余方程组与中国剩余定理

中国剩余定理相信大家都听说过，也叫做孙子定理，是我国古代数学的结晶之一（这个玩意真的是纯国产）（推销一下爱国情怀）。

中国剩余定理是用来求解：一次同余方程组的。

为了更好地理解中国剩余定理，我们来看一波历史：

从前有一本叫《孙子算经》的书，里面提到了一道这样的问题：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

大意： 一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

那么这个问题可以被抽象为一个同余方程组：

[egin{equation} left{ egin{array}{**lr**} xequiv2\,\,\,(mod\,\,3)& \ xequiv3\,\,\,(mod\,\,5) & \ xequiv2\,\,\,(mod\,\,7) & end{array} ight. end{equation} ]

那么，将它扩展一下，我们可以有很多个方程，都形如(xequiv a_i\,\,\,(mod\,\,m_i))。将其构造成一个方程组，就会有一个线性同余方程组（当我没说）。

假设一个数(M=prod^n_{i=1}m_i)，那么设(M_i=M/m_i)，即(M_i)表示所有模数中除了第(i)个模数的乘积。设(t_i)为(M_i)模(m_i)意义下的逆元。那么中国剩余定理就是：

上述方程式有解，其通解为：

[x=sum^n_{i=1}{a_it_iM_i} ]