辗转相除法（欧几里得算法）的证明

如何证明辗转相除法（欧几里得算法）

欧几里得算法是数学中用来求解最大公约数的一种最普遍算法。在了解欧几里得算法的证明过程之前，建议大家先来了解一下求解GCD（最大公约数）的两种方式，博客链接在下：

求解GCD问题的两种方式

于是我们知道了，所谓的欧几里得算法就是这么一个东西：

[forall a,bin N,b eq 0,Longrightarrow gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) ]

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下面我们要来证明这个定理。

这个定理的证明采用了数学归纳法和分类讨论思想（呵呵数学）。

首先，假如(a<b)，那么显然会有(a\%b=a)，也就会出现(gcd(a,b)=gcd(b,a))，显然成立。

然后，在(age b)的时候，我们设(a=x imes b+y),也就是我们将其分解成为了商乘以除数加余数的形式。

注意！我们在证明很多带有取模运算的定理的时候，将模运算的被模数化成这种形式都是相当管用的，一定要积累这种方法！

分解为商乘以除数加余数的形式后，对于(a,b)的任何一个公约数(d)，都会有(d|a,d|x imes b)，所以就会有(d|(a-x imes b))（这个位置的证明是显然的，大家好好想一想就能明白）

那么，因为(a=x imes b+y,d|(a-x imes b))，有(d|y)。根据模运算的定义，有(a\%b=y)，那么，欧几里得算法就证明完毕了。