问题描述
每年冬天，北大未名湖上都是滑冰的好地方。北大体育组准备了许多冰鞋，可是人太多了，每天下午收工后，常常一双冰鞋都不剩。
每天早上，租鞋窗口都会排起长龙，假设有还鞋的m个，有需要租鞋的n个。现在的问题是，这些人有多少种排法，可以避免出现体育组没有冰鞋可租的尴尬场面。（两个同样需求的人（比如都是租鞋或都是还鞋）交换位置是同一种排法）
输入格式
两个整数，表示m和n
输出格式
一个整数，表示队伍的排法的方案数。
样例输入
3 2
样例输出
5
数据规模和约定
m,n∈［0,18］
解法一：递归。f（m，n）函数用于返回还鞋人数为m，租鞋人数为n时的合法方案数。main函数里读入还鞋人数m，租鞋人数n，直接调用f（m，n）函数。
由题意，需要保证，当前队伍内，任意前i个必有还鞋人数大于等于租鞋人数,因为“每天下午收工后，常常一双冰鞋都不剩”，所以当天队伍第一位一定是还鞋，然后第二位可能是还鞋也可能是租鞋，如果第二位是还鞋的话，和第一位是还鞋的情况相同，如果第二位是租鞋的话下一位只能是还鞋，下一位是还鞋的话，又和第一位是还鞋的情况相同。符合递归的的基本思想：复杂问题可以分解为相同的子问题。
本题用递归实现比较简单，从后往前考虑，只考虑当前队伍最后一位应该放置还鞋还是租鞋。
最后一位放置还鞋的话，总还鞋人数减一，考虑队伍最后一位除外的前面所有人合法的方案数，为f(m - 1, n)；同理，最后一位放置租鞋的话，合法的方案数为f(m, n - 1)；两种情况相加即为最后一位放还鞋或租鞋的总方案数。
边界情况：当队伍里还鞋人数m小于租鞋人数n时，无论如何摆放，都不合法，返回0；当队伍里的租鞋人数为0时，因为“两个同样需求的人（比如都是租鞋或都是还鞋）交换位置是同一种排法”，所以合法方案数只有1种。
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 int f(int m, int n) {
4 if (m < n) {
5 return 0;
6 } else if (n == 0) {
7 return 1;
8 } else {
9 return f(m - 1, n) + f(m, n - 1);
10 }
11
12 }
13 int main() {
14 int m, n;
15 cin >> m >> n;
16 cout << f(m, n) << endl;
17 return 0;
18 }
解法二：动态规划。从集合角度考虑DP问题参考自闫氏DP分析法https://www.bilibili.com/video/BV1X741127ZM?from=search&seid=9453608681194784228
先看一段错误代码
1 //错误代码
2 #include <bits/stdc++.h>
3 using namespace std;
4 const int N = 20;
5 int dp[N][N];
6 int main() {
7 int m, n;
8 cin >> m >> n;
9 for (int i = 1; i <= m; i++) { //初始化，所有租鞋人数为0时，合法的方案数为1
10 dp[i][0] = 1;
11 }
12 for (int i = 1; i <= m; i++) {
13 for (int j = 1; j <= n; j++) {
14 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
15 }
16 }
17 cout << dp[m][n] << endl;
18 return 0;
19 }
正解为5，输出了6。
输出dp[i][j]里的值debug一下
1 //错误代码
2 #include <bits/stdc++.h>
3 using namespace std;
4 const int N = 20;
5 int dp[N][N];
6 int main() {
7 int m, n;
8 cin >> m >> n;
9 for (int i = 1; i <= m; i++) { //初始化，所有租鞋人数为0时，合法的方案数为1
10 dp[i][0] = 1;
11 }
12 for (int i = 1; i <= m; i++) {
13 for (int j = 1; j <= n; j++) {
14 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
15 }
16 }
17 //输出dp[i][j]的内容
18 for (int i = 1; i <= m; i++) {
19 for (int j = 1; j <= n; j++) {
20 cout << "i:" << i << " " << "j:" << j << " " << "dp[i,j]:" << dp[i][j] << endl;
21 }
22 }
23 return 0;
24 }
输出结果为：
依次分析：
i=1，j=1时，一人还鞋，一人租鞋，合法方案数为1，没毛病
i=1，j=2时，一人还鞋，两人租鞋，合法方案数为1。发现错误，由上面分析，当还鞋人数小于租鞋人数时，此时没有合法方案。
更改后的代码
1 //正确代码
2 #include <bits/stdc++.h>
3 using namespace std;
4 const int N = 20;
5 int dp[N][N];
6 int main() {
7 int m, n;
8 cin >> m >> n;
9 for (int i = 1; i <= m; i++) {
10 dp[i][0] = 1;
11 }
12 for (int i = 1; i <= m; i++) {
13 for (int j = 1; j <= i; j++) { //此处更改为j <= i
14 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
15 }
16 }
17 //输出dp[i][j]的内容
18 /*for (int i = 1; i <= m; i++) {
19 for (int j = 1; j <= i; j++) {
20 cout << "i:" << i << " " << "j:" << j << " " << "dp[i,j]:" << dp[i][j] << endl;
21 }
22 } */
23 cout << dp[m][n] << endl;
24 return 0;
25 }
更改后的代码输出dp[i][j]的值
即要保证对于每个i，对应的j<=i,确保每个dp[i][j]里存的都是正确的值