蓝桥杯 传纸条 dp

问题描述

　　小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
　　在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
　　还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

　　输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
　　接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

34

数据规模和约定

　　30%的数据满足：1<=m,n<=10
　　100%的数据满足：1<=m,n<=50

我第一次见到四维的dp问题，长知识了。

参考自https://www.cnblogs.com/cao-lei/p/7236061.html

这道题目还是需要一些dp基本功才容易理解。

原博主从最容易理解的四维数组开始，优化到三维数组，再优化到二维数组。

跟着原博主的思路，很容易理解四维如何做，然后花了一点时间理解了怎样优化到三维。

但是我提交了一下原博主的二维数组代码，发现只有70分，然而现在的我还找不出来哪里错了。

不过三维数组的解法，时间复杂度O（n^3），已经足够解决n=100的情况了，本题n=50，对蓝桥杯而言，三维的解法已经足够了。

好题待复习。

四维数组解法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int mp[55][55];     //好心程度 | 权值
int dp[55][55][55][55];
int maxPath(int m, int n) {
    for (int x1 = 1; x1 <= m; x1++) {
        for (int y1 = 1; y1 <= n; y1++) {
            for (int x2 = 1; x2 <= m; x2++) {
                for (int y2 = 1; y2 <= n; y2++) {
                    if ((x1 < m || y1 < n) && x1 == x2 && y1 == y2) {
                        continue;
                    }
                    dp[x1][y1][x2][y2] = max(max(dp[x1 - 1][y1][x2 - 1][y2], dp[x1 - 1][y1][x2][y2 - 1]), 
                                              max(dp[x1][y1 - 1][x2 - 1][y2], dp[x1][y1 - 1][x2][y2 - 1]))
                                             + mp[x1][y1] + mp[x2][y2];
                }
            }
        }
    }
    return dp[m][n][m][n]; 
}
int main() {
    int m, n;
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1;i <= m; i++) {
        for (int j = 1;j <= n; j++) {
            cin >> mp[i][j];
        }
    }
    int ans = maxPath(m, n);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

三维数组解法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int mp[55][55]; //好心程度 | 权值
int dp[55 + 55][55][55];
int maxPath(int m, int n) {
    for (int k = 1; k <= m + n - 3; k++) {
        for (int x1 = 0; x1 <= k; x1++) {
            for (int x2 = 0; x2 <= k; x2++) {
                if (x1 == x2) { //x1 == x2 相当于(x1 == x2 && y1 = y2) 
                    continue;
                }
                dp[k][x1][x2] = max(max(dp[k - 1][x1][x2], dp[k - 1][x1 - 1][x2 - 1]),
                                    max(dp[k - 1][x1 - 1][x2], dp[k - 1][x1][x2 - 1]))
                                    + map[x1][k - x1] + map[x2][k - x2];
            }
        }
    }
    return dp[m + n - 3][m - 1][m - 2];
}
int main() {
    int m, n;
    cin >> m >> n;    
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> mp[i][j];
        }
    }
    int ans = maxPath(m, n);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}