895. 最长上升子序列

解法一

第一步：确定状态——原问题？子问题？

• \(f[i]\) 前\(i\)个数的最长不下降子序列——求不了啊~为什么求不了？
• 不知道这个序列的最后一个元素是哪个，没法转移
• \(f[i]\)以第\(i\)个数为结尾的最长不下降子序列

第二步：确定状态转移方程

• \(f[i]=max\{f[j]+1\}（a[j]<=a[i] 且 j<i）\)

第三步：确定初始条件

• \(f[i] = 1\)

const int N=1010;
int f[N];//以第i个数结尾的最长上升子序列
int a[N];
int n;

int main()
{
    cin>>n;

    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[i] > a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    }

    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[i]);
    cout<<res<<endl;
    //system("pause");
}

解法二

状态表示：

\(f(i,0)\)表示考虑前\(i\)个元素，且不选第\(i\)个元素所能得到的最长上升子序列的长度。

\(f(i,1)\)表示考虑前\(i\)个元素，且选定第\(i\)个元素所能得到的最长上升子序列的长度。

状态转移：

\[f(i,0)=\max(f(i-1,0),f(i-1,1)) \\ f(i,1)=\max(f(i,1),f(j,1)+1),a_j < a_i \]

边界：

\[f(0,1)=f(0,0)=0 \]

注意点

\(f(i,1)\)初值设为\(1\)，表示仅选定当前元素，最长上升子序列长度为\(1\)。

const int N = 1010;
int f[N][2];
int a[N];
int n;

int main()
{
    cin>>n;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]);
        
        f[i][1]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[j] < a[i])
                f[i][1]=max(f[i][1],f[j][1]+1);
    }
    
    cout<<max(f[n][1],f[n][0])<<endl;
    
    return 0;
}