P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

求关于(x)的同余方程 (ax equiv 1 pmod {b})的最小正整数解。

将 (ax equiv 1 pmod {b}) 转换成(ax+by=1)，而(ax+by=1)有解的充要条件是(1\% gcd(a,b) == 1)，于是乎(gcd(a,b) == 1)，题目明确一定有解，于是我们得到(gcd(a,b))的值为1。

通过exgcd可求得(ax+my=gcd(a,b)①)的解((x_0,y_0))（我们只关心(x)），则(ax+by=1②)的解可在(①)式两边同乘(frac{1}{gcd(a,b)})，得到(afrac{x}{gcd(a,b)}+bfrac{y}{gcd(a,b)} = 1)，故((frac{x_0}{gcd(a,b)},frac{y_0}{gcd(a,b)}))为(②)式的一个解，而(gcd(a,b) == 1)，所以((x_0,y_0))就是(②)式的一个解。

最小正整数解为((x_0\%frac{b}{gcd}+frac{b}{gcd})\%frac{b}{gcd})，由(gcd(a,b)==1)化简得((x_0\%b+b)%b)。

int a,b,x,y;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }

    int g=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return g;
}

int main()
{
    cin>>a>>b;
    int g=exgcd(a,b,x,y);
    cout<<(x%b+b)%b<<endl;

    //system("pause");
    return 0;
}