[蓝桥杯][2017年第八届真题]k倍区间

暴力的做法是(O(n^2))，枚举左右端点(l)和(r)，通过前缀和计算出(sum[l sim r] = sum[r] - sum[l-1])，但不足以通过此题。

题意可转化为：找两个端点(l)和(r)，使得(sum[l sim r]\%k = (sum[r] - sum[l-1])\%k == 0)，即(sum[r] equiv sum[l-1] mod k)。

于是我们统计出所有(sum[i] mod k)的余数，记为(cnt[sum[i]\%k])。

最后枚举余数((0 sim k-1))，假设当前枚举的余数为(m)，则满足(sum[l sim r]\%k == m)的(l)和(r)配对的个数为(C_{cnt[m]}^2)。

注意点

由于(sum[0]=0)，因此初始时(cnt[0]=1)。

const int N=1e5+10;
LL sum[N],cnt[N];
int n,k;

int main()
{
    cin>>n>>k;

    cnt[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>sum[i];
        sum[i]+=sum[i-1];
        cnt[sum[i]%k]++;
    }

    LL ans=0;
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        ans+=cnt[i]*(cnt[i]-1)/2;
    }
        
    cout<<ans<<endl;

    //system("pause");
    return 0;
}

也可以采用下面更简洁的写法，不再是求组合数了，而是规定了一个顺序，每次求当前为右端点(r)的情况下，(1 sim i-1)中与(sum[r])同余模(k)的左端点(l)的个数。

const int N=1e5+10;
int sum[N],cnt[N];
int n,k;

int main()
{
    cin>>n>>k;

    LL ans=0;
    cnt[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>sum[i];
        sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%k;
        ans+=cnt[sum[i]];
        cnt[sum[i]]++;
    }
    cout<<ans<<endl;

    //system("pause");
    return 0;
}